ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Общие свойства задач на экстремум из "Вариационные принципы механики " Математически мы говорим о задаче на экстремум всякий раз, когда фигурирует наибольшее или наименьшее значение какой-либо величины. Например, мы можем искать наивысшую точку горы или наинизшую точку долины, или кратчайший путь между двумя точками, или наибольший объем контейнера, который можно сделать из данного куска металла, или наименьшие возможные затраты на освещение либо на обогрев и т. д. Для решения подобных задач возникла отдельная ветвь математики, называемая вариационным исчислением . [c.57] Вопрос о максимуме или минимуме по самой своей природе требует какого-то сравнения. Если мы утверждаем, что находимся на вершине горы, то мы должны показать, что все соседние точки расположены ниже нас. Здесь мы сталкиваемся с первым характерным ограничением задач на экстремум. В удаленных от нас частях горы могут существовать и более высокие пики. Нам достаточно, чтобы достигнутая нами высота была максимальна в непосредственной окрестности, даже если и не установлено, что она максимальна в более широкой окрестности. Мы говорим, таким образом, о локальном максимуме (или минимуме) в отличие от абсолютного максимума (или минимума). [c.58] Таким образом, в точке, где имеется относительный максимум функции, не должно быть ни положительного, ни отрицательного значения скорости ее изменения. Отсюда следует весьма важное утверждение, что для наличия максимума данной функции в некоторой точке требуется, чтобы скорость изменения функции при движении в любом направлении от этой точки была равна нулю. [c.59] Однако это условие само по себе не гарантирует наличие максимума. Мы можем находиться на седловой точке, что приводит к наличию минимума по отношению к одним направлениям и максимума по отношению к другим. Поэтому равенство нулю скорости изменения функции во всех возможных направлениях является необходимым, но отнюдь не достаточным условием наличия экстремума. Требуется провести дополнительное исследование, чтобы установить, что в действительности реализуется максимум, минимум или седловая точка без какого-либо экстремального значения. [c.59] Однако тот факт, что мы находимся в точке, где скорость изменения функции в любом направлении равна нулю, интересен сам по себе. Подобные точки являются особыми, независимо от того, выполняются в них или нет более сильные условия наличия максимума или минимума. Поэтому эти точки имеют специальное название. Если скорость изменения функции в любом направлении в некоторой т.очке равна нулю, то мы говорим, что функция имеет в этой точке стационарное значение-/). [c.59] Резюме. Задача о нахождении точки, в которой некоторая функция имеет относительный максимум или минимум, приводит к необходимости исследования бесконечно малой окрестности этой точки. Это исследование должно показать, что функция обладает стационарным значением в рассматриваемой точке. Хотя это утверждение само по себе без дополнительных условий и не может гарантировать наличия экстремума, для общих задач динамики его достаточно задачи движения требуют лишь нахождения стационарных значений, а не обязательно минимумов некоторого определенного интеграла. [c.60] Вернуться к основной статье