ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задачи к главе I Упругий удар из "Механика " произведенные Фуко в 1851 г., а также опыты его многочисленных последователей, дали только качественные результаты количественное же исследование всех источников погрешностей дал в своей диссертации в 1879 г. Камерлинг-Оннес (имя которого впоследствии приобрело широкую известность благодаря работам в области низких температур и открытию явления сверхпроводимости). [c.233] Мы не можем противостоять искушению дополнить наше рассмотрение относительного движения доказательством знаменитой теоремы Лагранжа (Парижская академия, 1772 г.) Проблема трех тел допускает строгое решение в элементарных функциях, если принять, что треугольник, образованный тремя небесными телами, постоянно остается подобным самому себе. При этом массы трех тел произвольны. [c.233] Доказательство, данное Лагранжем, довольно сложно. Его можно упростить, приняв с самого начала, как это делает Лаплас, что условие 1) выполнено. Каратеодори показал , однако, что и без этого допущения возможно элементарное доказательство теоремы Лагранжа. Его отправной точкой является наше векторное уравнение (29.4), переписанное в прямоугольных компонентах. Мы воспроизводим здесь с некоторыми изменениями доказательство Каратеодори. [c.233] Здесь F означает векторную сумму ньютоновских сил притяжения, действующих на материальную точку ш. Так, например. [c.234] Выберем в плоскости 8 прямоугольную систему координат ж, у с началом в точке О в остальном эта система координат произвольна. [c.234] Тем самым доказана 1-я часть теоремы Лагранжа плоскость вращается вокруг своей нормали с угловой скоростью г указанная нормаль неподвижна в пространстве. [c.237] Это дифференциальное уравнение для Л описывает временной ход движения, растяжения и сжатия нашего равностороннего треугольника, претерпеваемые им с течением времени. [c.239] Таким образом, каждая из наших трех материальных точек движется в пространстве независимо от остальных двух и притом так, как если бы она имела массу т/ и притягивалась находящейся в точке О неподвижной массой М по закону Ньютона. Поэтому при своем движении она описывает коническое сечение, в одном из фокусов которого находится точка О. [c.240] согласно формуле (32.4), радиальная скорость в системе отсчета равна нулю скорость же в системе отсчета (т. е. в пространстве) равна произведению компоненты г угловой скорости на расстояние (32.21). Входящий в выражение (32.21) множитель будет при этом коэффициентом подобия не только для начальных скоростей и начальных расстояний от центра тяжести, но также и для величин получающихся конических сечений. Тем самым доказана и 4-я часть теоремы Лагранжа. Три конических сечения взаимно смещены на углы, равные соответственно углам между тремя центральными осями. [c.240] В частном случае mi = m2 = шз, когда центр тяжести О является одновременно центром равностороннего треугольника, конические сечения конгруэнтны и смещены друг относительно друга на 120°. [c.240] Кроме этого движения по коническим сечениям, существует, по Лагранжу, класс движений, которые могут быть представлены в элементарных функциях и при которых три тела находятся на вращающейся прямой. Но на этом мы останавливаться не будем. [c.240] Мы знакомы уже с одним из вариационных принципов механики — принципом Даламбера. Этот принцип исходит из произвольно выбранного мгновенного состояния системы, которое сравнивается со смежным ее состоянием, возникающим из предыдущего в результате виртуального перемещения (ср. 7). Напротив, те вариационные принципы механики, к изучению которых мы сейчас перейдем, являются интегральными принципами они позволяют рассматривать ряд последовательных состояний системы за конечный промежуток времени или, что то же самое, на конечном отрезке траектории и сравнивать их с соседними виртуальными состояниями, находящимися с ними в определенном соответствии. [c.242] При этом мы должны отметить, что, говоря о траектории системы , мы подразумеваем не траекторию отдельной точки системы в трехмерном пространстве, а многомерную характеристику движения всей системы в целом. Если рассматриваемая система имеет / степеней свободы, то траектория ее движения расположена в /-мерном пространстве обобщенных координат , / (ср. 70). [c.243] Таким образом, мы рассматриваем систему из п дискретных материальных точек, которые, однако, могут быть связаны друг с другом посредством каких-либо связей. Вариации Sxk, Syk и Szk, которые также соответствуют этим связям, не независимы друг от друга. При / степенях свободы только / из них могут быть выбраны произвольно. [c.244] Главным образом, в этой последней форме Ы8 = 5d соотношение (33.9а) играло плодотворную, хотя и несколько мистическую роль в старом вариационном исчислении времен Эйлера. Мы видим, что соотношение (33.9а) является лишь видоизменением довольно тривиального соотношении (33.5) между производной по времени от виртуального перемещения и виртуальным изменением скорости, если ввести дополнительное предположение о том что время не варьируется и что виртуальное перемещение непрерывно. [c.245] Эту форму и подразумевают обычно, когда говорят о принципе Гамильтона она справедлива (см. стр. 135) для консервативных систем. Напротив, формулу (33.11) мы называем принципом Гамильтона, обобщенным для случая неконсервативных систем . [c.246] Гельмгольц, который в своих последних работах использовал преимущественно принцип наименьшего действия в форме Гамильтона, назвал L кинетическим потенциалом . По аналогии с термодинамикой можно было бы назвать L свободной энергией в противоположность термину полная энергия для Т + F. [c.247] Принцип Гамильтона особенно ценен в том отношении, что он совершенно не зависит от выбора системы координат. Действительно Т и V (как и 5А) являются величинами, имеющими непосредственный физический смысл они могут быть выражены в любых координатах. Мы воспользуемся этим в следующем параграфе. [c.247] Принцип Гамильтона, так же как и остальные принципы наименьшего действия, кажущимся образом противоречит нашему представлению о причинности, поскольку, согласно этому принципу, протекание процесса во времени определяется не состоянием системы в настоящий момент, а выводится с учетом в равной мере прошедшего и будущего системы. Интегральные принципы являются, казалось бы, не каузальными, а телеологическими. К этому вопросу мы вернемся в 37, когда будем рассматривать историческое происхождение принципов наименьшего действия. Там же мы коснемся вопроса о распространении принципа Гамильтона на другие области физики. [c.247] Вернуться к основной статье