ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Операции с матрицами из "Формообразование поверхностей деталей " Умножение матрицы на скаляр р равносильно умножению всех ее элементов на это число Ьу = р ау 1 = 1,2,] =1,2.11. [c.156] Действие вычитания в алгебре матриц определяется как сложение двух матриц, одна из которых умножена на скаляр р = -1. [c.156] Из этого следует, что две матрицы могут быть перемножены лишь в случае, когда число столбцов первой (левой) равно числу строк второй (правой). Если размер первой матрицы (тх п), а второй (п х р), то матрица произведения С будет иметь размер (тх р). В общем случае А х в] В х (если существуют оба произведения), т.е. операция умножения матриц не обладает свойством коммутативности. Поэтому следует оговаривать порядок перемножения матриц (например, умножим матрицу [в слева на матрицу А ). [c.156] Между матрицей и определителем существует принципиальное различие. Запись определителя в виде упорядоченной таблицы только внешне напоминает квадратную матрицу. Определитель - это число, а запись его в виде таблицы - только удобная форма, позволяющая по известным правилам вычислять его значения. [c.157] Таким образом решение матричного уравнения (2) сводится к нахождению обратной матрицы [а] . [c.157] Для заданной матрицы [а обратная матрица [а] существует лишь в случае, когда исходная матрица не является особенной, т.е. определитель матрицы не равен нулю Det [а] О. [c.158] Известно много методов нахождения матрицы, обратной заданной. Остановимся на двух из них. [c.158] Обратную матрицу можно получить путем деления всех элементов присоединенной (союзной) матрицы на определитель исходной матрицы. Присоединенная матрица получается путем транспонирования матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы. [c.158] Применение рассмотренного способа нахождения обратной матрицы оправдано в случаях, когда исходная матрица имеет порядок не выше четвертого. Это ограничение вызвано тем, что при более высоком порядке исходной матрицы объем вычислительной работы резко увеличивается. [c.158] Другой способ нахождения обратной матрицы заключается в последовательном вычислении обратной матрицы путем подбора при помощи единичной матрицы. Записав рядом с заданной матрицей единичную матрицу, производим сложение строк, предварительно подобрав множители так, чтобы на месте заданной матрицы получить единичную. В этом случае на месте единичной матрицы будет искомая обратная матрица. [c.158] Следовательно, найденная матрица действительно является матрицей [A] , обратной к исходной матрице [а]. [c.160] Отметим, ЧТО для обращения матриц высоких порядков разработаны эффективные программы для ЭВМ. Приведение матриц к удобному для выполнения вычислений диагональному виду связано с понятиями собственного числа и собственного вектора матрицы. [c.160] Один из возможных путей нахождения собственных векторов заключается в следующем. Равенство нулю определителя системы линейных уравнений (4) означает, что одно из уравнений системы является линейной комбинацией остальных. Исключая это зависимое уравнение, получим систему из (п -1) уравнений. Подставляя последовательно, 2. в (6) и решая систему п раз, можем с точностью до произвольного множителя найти векторы Х , Х2. [c.161] Раскрыв определитель, после преобразований получим квадратное уравнение X - 781 +108 = О. Корни этого уравнения являются собственными числами матрицы [а] 1 = 76,59 и Ij = 1,41. [c.162] Так как эти уравнения линейно зависимы, для определения собственных векторов можно использовать любое из них. Полагая Xjj=l, из первого уравнения при 1 =76,59 находим Xji =-0,255. Аналогично, принимая Xj2 = 1, 12=1,41, нолз чаем Xi2 = 0,255. [c.162] Легко убедиться, что произведение [х]- [а]- [х] дает диагональную матрицу. [c.162] Вернуться к основной статье