ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегрирование уравнений малых колебаний из "Теоретическая механика " Характеристическое уравнение, представляющее собой алгебраическое уравнение степени / относительно Я, здесь будет уравнением частот. [c.451] Число произвольных постоянных равно 2/, т. е. порядку системы— это постоянные С/ и О/. Мы видим, что решение будет вещественным, если вещественными будут частоты со/, т. е. если Я/ 0. [c.452] Приведем доказательство теоремы Сильвестра о вещественности корней характеристического уравнения (о положительности X/), данное Нансоном, несколько видоизменив изложение [33]. [c.452] Доказательство теоремы Сильвестра основывается на равенстве (7.48) и на свойствах функций Д(Я), А1(Я), А/ 1(Я). Заключается оно в подсчете числа перемен знаков этих функций при изменении Я от нуля до некоторого большого положительного значения N. при котором Д(Л ) 0. [c.453] Корни уравнения Дм(А-) = 0, разделенные корнями предшествующего уравнения, лежат между корнями последующего. Графики всех функций Д (Я) пересекают ось абсцисс при О Я Л , следовательно, все корни вещественные и положительные. [c.454] Таким образом, отправляясь от единственного положительного корня уравнения Дг 1(Я) = 0, мы найдем, что уравнение Д(Я) = 0 имеет I вещественных и, что очень важно, положительных корней. [c.454] Если уравнение Д(Я) имеет два равных корня, то совпадут точки Я1, Яа, ЯГ , Яг и Я . Если кратность корней равна трем, то с перечисленными точками совпадет и точка Яз. [c.454] Очевидно, что в этом случае нельзя пользоваться уравнениями первого приближения--метод малых линейных колебаний теряет силу. [c.455] Обратимся к выражению потенциальной энергии. [c.455] Перейдем к новым координатным осям, совпадающим с главными направлениями,—главным осям. Главные оси проходят чере центр поверхности и ее вершины, их направления коллинеарны с направлениями нормалей к поверхности. [c.455] Корни V, Пуанкаре назвал коэффициентами устойчивости, а число отрицательных корней — с/п иемью неустойчивости. Если все Yi положительны, то / (д), а значит, и 11 (д) определенно положительны в некоторой конечной окрестности начала координат. [c.456] Заменим временно в выражении кинетической энергии 4 через д (для алгебраических операций это несущественно). Тогда мы получим две определенно положительные квадратичные функции переменных д Т (д) н и (д). [c.457] Действительно, в теории квадратичных форм есть замечательная теорема, в которой доказывается, что если имеются две вещественные квадратичные формы от одних и тех же переменных, из которых одна знако-определенная, то существует линейное неособое преобразование, которое приводит одновременно обе формы к каноническому виду [6]. [c.458] Координаты XI называются нормальными, или главными. [c.458] Рассмотрим переход от некоторых обобщенных координат д1 к нормальным координатам х, с иной точки зрения. Идея такого подхода указана Лагранжем в Аналитической механике и заключается в преобразовании системы уравнений возмущенного движения к виду системы отдельных уравнений гармонических колебаний (7.57). [c.458] Очевидно, что в двух последних случаях, как это уже было отмечено выше, метод малых линейных колебаний применять нельзя. [c.459] Общее решение системы дифференциальных уравнений возмущенного движения (7.47) есть наложение (суперпозиция) нормальных колебаний, частоты которых называются собственными частотами колебаний консервативной системы. [c.459] Отметим, что нормальные координаты представляют собой некоторые обобщенные координаты. Отличительная особенность нормальных координат заключается в том, что они независимы не только кинематически, но и динамически —в каждое динамическое уравнение входят только одна координата и ее вторая производная по времени. [c.459] Рассматривая в первом приближении возмущенное движение консервативной системы, мы предполагали, что невозмущенное состояние — состояние покоя — устойчиво. Это позволило нам искать частное решение системы дифференциальных уравнений возмущенного движения в виде тригонометрических функций времени. Если заранее мы не знаем, устойчиво или неустойчиво положение равновесия, то частное решение следует искать в виде Ке . В таком же виде нужно искать частное решение и в тех случаях, когда в уравнения входят производные первого и второго порядков. [c.460] ЯВЛЯЮТСЯ частными решениями рассматриваемой системы. [c.461] Вернуться к основной статье