ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Четаева о неустойчивости. Обращение теоремы Лагранжа из "Теоретическая механика " Ляпунов в своей диссертации Общая задача об устойчивости движения исследовал также и неустойчивость невозмущенного состояния. Им, в частности, была поставлена задача обращения теоремы Лагранжа и доказана теорема, содержащая достаточные условия неустойчивости положения равновесия при некоторых предположениях относительно вида силового потенциала. [c.439] Четаев обобщил результаты Ляпунова, доказав теорему о неустойчивости, в которой даны достаточные условия еустойчивости невозмущенного состояния системы при более -общих предположениях [36]. [c.439] Заметим, что при указанных условиях кривая У=0 не мелеет быть замкнутой в пределах области, определяемой неравенствами (7.9). [c.440] Отсюда и следует заключение относительно неустойчивости невозмущенного состояния. [c.441] Обращение теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы интересовало многих исследователей, однако задача эта до сих пор полностью не решена. Приведем без вывода две теоремы, содержащие достаточные условия неустойчивости положения равновесия. [c.441] Теорема Ляпунова. Если в положении равновесия консервативной системы потенциальная энергия имеет максимум и. это определяежя совокупностью членов наинизшего порядка в разложении этой функции, то равновесие неустойчиво. [c.441] Обобщения теоремы Ляпунова были даны Н. Г. Четаевым ряде его работ [36]. Приведем формулировку основной теоремы Четаева. [c.441] Если мы снова обратимся к геометрической иллюстрации и положим 1/(0, О,. .., 0) = О, то обнаружим, что в окрестности положения рав новесия — там, где С/ О, — будут ямы , которые должна обойти изображающая точка. Следовательно, мы не сможем назначить сколь угодно малые пределы для последующих отклонений — налицо неустойчивость положения равновесия. На рис. 7.4 изображен вид такой поверхности. Изображающая точка должна двигаться в плоскости д, ф так чтобы ордината точки на поверхности была постоянной — это а вынудит изображающую точку пересечь е-границу. [c.442] Вернуться к основной статье