ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Случай Лагранжа (качественное исследование движения). Быстрый волчок из "Теоретическая механика " Доказательство основано на теории множителя Якоби (в нашем курсе эта теория не рассматривается). [c.404] Лагранж впервые исследовал движение тяжелого тела с одной неподвижной точкой при любом распределении плотности и показал, что если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то решение задачи сводится к вычислению эллиптических квадратур (к спрямлению конических сечений по словам самого Лагранжа) ). Поэтому случай, который мы будем рассматривать, называется случаем Лагранжа или Лагранжа — Пуассона ). [c.405] На рис. 6.11 изображен эллипсоид инерции, центр которого совпадает с неподвижной точкой, а вдоль оси динамической симметрии направлена ось собственного вращения тела Ог. Центр масс тела (в однородном поле тяжести — центр тяжести) отмечен буквой Ц. [c.405] г — главные силы инерции. Относительно главных моментов инерции предположим, что они удовлетворяют условию А = ВФС. Неподвижная ось з направлена вертикально вверх. Расстояние ОЦ обозначим через I, массу тела —через М. В качестве обобщенных координат выберем углы Эйлера. [c.405] Время t выражено с помощью эллиптического интеграла с переменным верхним пределом. Обращение интеграла позволит найти ш = со8 0 в виде эллиптической функции времени. Затем, зная w(t), из (6.113) и (6.114) находим скорость прецессии ф и скорость собственного вращения ф, а значит, можем вычислить и сами углы ф и г ). Такова схема решения задачи. [c.407] Решение задачи в случае Лагранжа находится в эллиптических функциях, и поэтому характер движения тела представить себе довольно трудно. Поскольку в силу уравнений движения мы получили дифференциальное уравнение первого порядка (6.115), то к исследованию движения тела в случае Лагранжа сможем применить метод качественного исследования (см. гл. П, 3). [c.407] Если ТОЧКИ 0)1 И Ша сливаются (уравнение Р т)==0 имеет кратный корень), то мы будем иметь регулярную прецессию в случае Лагранжа. Дальше мы покажем, что регулярная прецессия в случае Лагранжа представляет собой частное решение уравнений движения. В этом случае, очевидно, Wl = W2 — Wo. [c.408] Аналогичный график был построен для сферического маятника (см. рис. 2.6 гл. II, 6). Отличия заключаются в обозначении и отсчете углов и, кроме того, в том, что уравнение (6.115) несколько сложнее по сравнению с аналогичным уравнением для сферического маятника (2.68). [c.408] Предположим, что в начальный момент времени угол нутации был острым. Тогда, так как п 0, найдем, что т 0. Выше мы предположили, что го 0, следовательно, у 0. Если Сз 0, то и ц 0. [c.409] Можно показать, что и в том случае, когда скорость прецессии меняет знак, обращаясь в нуль на некоторой средней параллели, при ш = р1/г, приращение угла прецессии за полный период изменения угла нутации будет положительным. [c.410] Обе проекции С и Сз положительные, поэтому угол р во все время движения меньше, чем угол а (углы а и Р переменные). [c.411] Расположение вектора О в плоскости (1/3, г) говорит о том, что угол между вертикальными плоскостями (уз, г) и (уз. О) не может быть больше прямого. Следовательно, несмотря на то, что угловая скорость вращения плоскости (уз, г) (скорость прецессии) в некоторые моменты времени обращается в нуль и меняет знак, эта плоскость за полный период изменения со8 0 = ш поворачивается на такой же угол, как и плоскость (уз. О) (см. [7]). [c.411] Более подробно регулярную прецессию осесимметричного тела при отличном от нуля моменте внешних сил мы рассмотрим в следующем параграфе. [c.412] Рассмотрим движение так называемого быстрого волчка ). [c.412] Очевидно, что при достаточно большой скорости собственного враш ения (большое Го) разность WQ — будет сколь угодно малой величиной. [c.413] Мы пришли к известной формуле приближенной теории быстро вращающегося гироскопа, который движется в однородном поле тяжести без трения (см. следующий параграф). [c.414] Вернуться к основной статье