ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принцип Гаусса из "Теоретическая механика " В 1829 г. Гаусс опубликовал открытый им принцип наименьшего принуледения — один из самых обш их дифференциальных вариационных принципов. [c.264] Принцип Гаусса охватывает механику систем с идеальными связями связи могут быть как голономными, так и неголономными. Обш.ность принципа Гаусса проявляется еще и в том, что при выводе уравнений движения этот принцип разрешает использовать в качестве переменных так называемые квазикоординаты (неголономные координаты). [c.264] наложенные на материальную систему, изменяют движение точек, заставляя (принуждая) их отклоняться от свободного движения — от движения под действием тех же активных сил, но без связей. Принцип Гаусса утверждает, что принуждение, оказываемое связями в действительном движении, меньше принуждения в движении по любому окольному пупш — в любом мыслимом движении. В качестве меры принуждения Гаусс ввел сумму произведений масс материальных точек на квадраты отклонений их радиусов-векторов (разностей радиусов-векторов точек в движении со связями и в свободном движении). [c.264] Принцип Гаусса не связан с вычислением интегралов по времени—это принцип дифференциальный. Истинное движение системы и ее движение по окольному пути сравниваются со свободным движением в каждый момент времени, причем координаты точек и их скорости во всех сравниваемых движениях считаются совпадающими. Ускорения точек будут различными—в свободном движении отсутствуют реакции связей. [c.264] Здесь / а есть скорость, а — ускорение точки в ее движении по окольному пути. [c.264] Сумма активных сил Fa имеет одно и то же значение как в движении со связями, так и в свободном движении. Здесь существенно предположение о независимости активных сил от ускорений. [c.265] Равенство нулю первой вариации принуждения означает, что принуждение принимает экстремальное значение, но так как принуждение состоит из суммы положительных слагаемых, то мы можем утверждать, что действительному движению отвечает минимум принуждения. Принцип Гаусса доказан ). [c.267] Идеи Гаусса были развиты в конце XIX века Герцем, которому принадлежит истолкование принципа Гаусса как принципа наименьшей кривизны (наименьшей кривизны траектории изображающей точки). [c.267] Это и дает нам право заменить в выражении динамического принципа виртуальных перемещений бх/ через бх,-. [c.268] Проблемы систем с неголономными связями не входят в наш курс мы ограничиваемся лишь краткими упоминаниями о некоторых свойствах этих систем. [c.269] Полученные уравнения известны под названием уравнений Гиббса —Аппеля. Впервые эти уравнения были опубликованы в 1878 г. Гиббсом, но в то время не привлекли к себе внимания. Спустя двадцать лет к уравнениям такого же вида пришел Аппель, решая задачу о движении неголономной системы. [c.271] Уравнения Гиббса —Аппеля отличаются необычайно простой формой и большой общностью — они приложимы не только к го-лономным системам, но и к системам с неголономными связями. [c.271] кроме того, показать, что при выводе уравнений движения в качестве переменных могут быть использованы и так называемые квазикоординаты (лучше говорить о квазискоростях, т. е. о некоторых линейных функциях от 4г, которые не являются полными производными функций от д и /). [c.271] Теория квазикоординат и квазискоростей не входит в наш курс, однако для более полной характеристики принципа Гаусса и уравнений Гиббса — Аппеля мы кратко изложим некоторые сведения о квазикоординатах ). [c.271] Через Пг здесь обозначена обобщенная сила, соответствующая квазикоординате я,-. [c.272] Квазискорости удобно применять при исследовании движения систем с неголономными связями. [c.273] Уравнения Гиббса — Аппеля, несмотря на целый ряд достоинств, сравнительно мало изучены и довольно редко применяются для решения задач. Можно указать, например, на книгу Парса [21], где, кроме основных сведений об уравнениях Гиббса —Аппеля, рассмотрено применение этих уравнений к решению ряда задач. [c.275] В нуль все разности Ра — Шааа). Это означает, что кинематически возможны любые вариации ускорений. [c.276] Приведем в виде иллюстрации два примера. [c.276] Вернуться к основной статье