ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принцип наименьшего действия Мопертюи—Эйлера —Лагранжа из "Теоретическая механика " Интегральный вариационный принцип, о котором пойдет речь,, возник значительно раньше принципа Гамильтона в 1744 г., почти одновременно и независимо, появились работы Мопертюи и Эйлера, содержащие в зародыше изложение этого принципа. Мопертюи, формулировка которого была весьма не ясной, придавал высказанному им принципу некий всеобщий телеологический смысл — принцип выражал будто бы целенаправленность действий природы. Эйлеру принадлежит первая отчетливая формулировка математического содержания, которое следует вложить в понятие принципа принцип наименьшего действия есть интегральный вариационный принцип, позволяющий вывести дифференциальные уравнения движения — уравнения экстремалей. В работах, посвященных принципу наименьшего действия, Эйлером быv м созданы основы вариационного исчисления и показано значение интегрального вариационного принципа в механике. Но несмотря на это, сам Эйлер всегда подчеркивал приоритет Мопертюи. Можно предполагать, что выступления Эйлера на стороне Мопертюи в спорах того времени по поводу философского смысла и научно-познавательного значения принципа привели к тому, что имя Мопертюи удержалось в названии принципа. Отметим, кстати, что само название принцип наименьшего действия ,, сохранившееся ло наших дней, принадлежит Мопертюи. [c.251] Принцип наименьшего действия Лагранж понимал не как некий метафизический принцип, имеющий всеобщее значение, а как простой и общий вывод из законов механики консервативных систем ). Что касается названия принципа, развитого Лагранжем, — принцип наименьшего действия , то, по словам самого Лагранжа, это название дано им по аналогии с названием принципа Мопертюи. [c.252] Перейдем к изложению принципа наименьшего действия. [c.252] Рассмотрим движение материальной системы с конечным числом степеней свободы относительно инерциальной системы отсчета. Предположим, что связи голономные, идеальные и стационарные, активные силы потенциальные, и что функция Лагранжа, построенная для системы, не зависит явно от времени. Следовательно, рассматриваемая система консервативная (может быть, обобщенно-консервативная). Требование консервативности системы свидетельствует о том, что область применимости принципа наименьшего действия значительно уже области, в пределах которой справедлив принцип Гамильтона. [c.252] Символом б изображается, как обычно, изохронная вариация. Заметим, что неравенство б (,= ьО есть следствие того, что время движения по окольным путям не равно времени действительного движения. [c.253] Заметим, что это условие при t = ti есть частный вид так называемого условия трансверсальности. [c.254] Не следует думать, что мы пришли к выражению принципа Гамильтона в принципе Лагранжа иные краевые условия и, кроме того, сравниваются движения с одной и той же постоянной энергией ). [c.255] Таким образом, доказано, что действие по Лагранжу принимает экстремальное значение (здесь — минимальное значение) в действительном движении голономной консервативной системы. [c.256] Предположим теперь, что выражение кинетической энергии имеет более общий вид, т. е. [c.256] Мы записали интеграл энергии в виде интеграла Якоби (см. 12). [c.256] Вернуться к основной статье