ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Концепция конечных элементов из "Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред " Для получения количественных решений в нелинейной механике сплошных сред часто приходится прибегать к численным методам. Однако независимо от того, какие первоначальные предположения и методы использовались, чтобы сформулировать задачу, если для получения результатов привлекаются численные методы, сплошная среда фактически аппроксимируется в процессе решения некоторой дискретной моделью. Этим подсказывается логическая альтернатива классического подхода — с самого начала представлять сплошную среду при помощи дискретной модели. [c.10] В этом случае дальнейшая идеализация при составлении уравнений иди при их решении может и не понадобиться. Один из таких подходов, основанный на идее кусочной аппроксимации непрерывных полей, получил название метода конечных элементов. Простота и обш ность этого метода делают его удобным средством решения широкого класса нелинейных задач. [c.11] При классическом подходе исследование сплошных сред начинают обычно с изучения свойств бесконечно малых элементов рассматриваемого континуума. Устанавливают соотношения между средними значениями различных величин, связанных с рассматриваемыми бесконечно малыми элементами, а затем, устремляя размеры элементов к нулю при неограниченном возрастании их числа, получают дифференциальные уравнения в частных производных или интегральные уравнения, описываюш ие поведение тела. [c.11] В противоположность этому классическому подходу при использовании метода конечных элементов начинают с изучения свойств элементов конечных размеров. При установлении этих свойств могут использоваться уравнения, описываюш ие поведение континуума, но размеры элементов остаются все время конечными, интегрирование заменяется конечным суммированием, а дифференциальные уравнения в частных производных заменяются, скажем, системами алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений. Сплошная среда с бесконечным числом степеней свободы представляется, таким образом, дискретной моделью, имеющей конечное число степеней свободы. При этом если удовлетворяются некоторые условия полноты, то с увеличением числа конечных элементов и уменьшением их размеров поведение дискретной системы приближается к поведению непрерывной системы — сплошной среды. Существенной особенностью такого подхода является то, что он в принципе применим к доследованию конечных деформаций физически нелинейных анизотропных неоднородных тел любой геометрической формы при произвольных краевых условиях. [c.11] ОНИ достигли точности почти в сорок значащих цифр. Наконец, Ньютоном и Лейбницем был создан математический анализ, который позволил сформулировать большинство задач математической физики с помощью дифференциальных уравнений в частных производных и интегральных уравнений. Впрочем, частые неудачи попыток использования классических аналитических методов при решении этих уравнений, с одной стороны, и пришествие ЭВМ — с другой, привели к тому, что все большее число современных исследователей применяют приближенные методы численного анализа. Интересно, однако, отметить, что при этом они во многих случаях подсознательно прибегают к более примитивным концепциям, чем использованные при получении решаемых уравнений. [c.12] Синг [1957] говорит о линейной интерполяции на треугольных областях очевидно, что применение им полиэдральных графов и пирамидальных функций — как раз в духе метода конечных элементов. [c.12] Вернуться к основной статье