ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Точки Кремера и диски Зигеля из "голоморфная динамика " В этом параграфе мы сначала сделаем обзор известных фактов о задаче локальной линеаризации и докажем некоторые из простейших результатов. В заключение будет описана связь между точками Кремера или дисками Зигеля и критическими точками рационального отображения. [c.151] Замечание. Сравнивая 11.3 и 11.5, мы видим, что существует сильное отличие между поведением динамики для общих значений и ее поведением для почти всех Это отличие поразительно, но вполне обычно для динамики. (Ср. обсуждение об итерированном экспоненциальном отображении в 6). В прикладной динамике обычно принято, что поведение для множества значений параметра меры нуль не существенно и может быть проигнорировано. Однако даже в прикладной динамике поведение для общих значений параметров остается чрезвычайно полезным средством исследования. [c.152] Для того, чтобы осмыслить эти утверждения и усилить результаты, полученные ранее, удобно ввести несколько различных классов иррациональных чисел, связанных друг с другом, как схематично показано на рисунке 23. [c.153] Следовательно, каждое алгебраическое число является диофантовым. Значит, любая иррациональная нейтральная неподвижная точка с алгебраическим числом вращения локально линеаризуема. (Ср. рис. 22а). [c.155] Нам потребуется следующее, гораздо более элементарное, свойство. [c.155] Очевидно, что 11.5 следует из теоремы 11.4 и леммы 11.7. [c.155] С другой стороны, как видно из приложения С, мера подмножества (2) равна нулю. [c.155] Теперь сформулируем три результата, дающие довольно точную картину локальной задачи. В 1972 Брюно доказал гораздо более сильный вариант теоремы 11.4. [c.157] Историческая справка. Одним из ранних исследователей подобного рода явлений был Т. М. Черри, но только часть его работ была опубликована при его жизни (он умер в 1966). Согласно Лову, Подробности этой работы, возможно, были записаны в его черновиках вероятно, он глубоко изучал этот предмет в течение многих лет. Можно надеятся, что когда-нибудь эти записи будут опубликованы. [c.158] Мы не будем пытаться сказать что-либо большее об этих трех больщих теоремах. В оставшейся части этого параграфа будут даны доказательства некоторых более простых результатов. Вначале покажем, что точки Кремера действительно существуют, затем докажем теорему Кремера (1927) и, наконец, покажем, что диски Зигеля действительно существуют. [c.159] Для начала упомянем хорошо известную теорему. Пусть Д — семейство голоморфных нелинейных рациональных отображений с параметром Лес, где /а(0) = О, Я(0) = Л так, что /х г) = Хг+ + (старшие члены). [c.159] Пусть Е — диск радиуса в нуле. Для Л из некоторого плотного подмножества 11 единичной окружности покажем, что содержит ненулевую периодическую орбиту. Для Л из счетного пересечения Р 111/п отображение Д имеет бесконечно много сходящихся к нулю периодических орбит, что и требуется. [c.159] Доказательство теоремы Кремера 11.2. [c.160] Следовательно, если величина liminf Л — 1 / равна нулю, то существуют неподвижные точки z ф О в любой окрестности нуля. [c.160] Замечание. Насколько мне известно, Кремер никогда не изучал свойство малых циклов. В его рассуждениях показано наличие периодических точек в каждой окрестности нуля, но не показано, что вся периодическая орбита содержится в малой окрестности нуля. Однако, ср. задачу 11-d. [c.161] Доказательство будет зависеть от приближения мультипликаторов Л на единичной окружности мультипликаторами А 1. [c.161] Зигеля в нуле, и это число действительно измеряет размер диска в некотором инвариантом смысле. Аналогично, а ) О для О Л 1. Однако, о-(Л) = О, если Д имеет в начале координат параболическую точку или точку Кремера, а также когда Л = 0. Заметим, что если Д имеет диск Зигеля, то эта функция размера о-(Л) не может быть непрерывной, поскольку параболические или кремеровские значения Л всюду плотны на единичной окружности. [c.162] Вернуться к основной статье