ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Односвязные поверхности из "голоморфная динамика " Первые три параграфа будут посвящены обзору подготовительного материала. [c.11] По определению, две таких поверхности 8 и 3 называются конформно изоморфными или биголоморфными тогда и только тогда, когда существует гомеоморфизм 8 на 8, который голоморфен относительно соответствующего локального упиформизирующего параметра. Легко проверить, что обратное отображение 8 — 8 также голоморфно. [c.11] В частном случае 8 = 8 такой конформный изоморфизм 8 — 8 называется конформным автоморфизмом поверхности 5. [c.12] Хотя существует несчетное множество конформно различных римановых поверхностей, в односвязном случае их классификация описывается очень просто. По определению, поверхность 5 односвязна, если каждое отображение окружности в 5 может быть непрерывно про-деформировано в постоянное отображение, ср. 2. Согласно Пуанкаре и Кёбе, с точностью до изоморфизма существуют только три односвязных римановых поверхности. [c.12] Впервые в данной общности лемма Шварца была доказана Каратеодори. [c.13] Замечание. Если / (0) = 1, то / является конформным автоморфизмом единичного диска, но если / (0) 1, то / не может быть конформным автоморфизмом диска Ш), т. к. его композиция с произвольным g (Ш), 0) — (Ш), 0) имеет производную g 0)f 0) ф 1- Пример / г) = показывает, что / может отображать Ш) на себя, даже если f z) г при всех г О в Р. [c.13] Другое доказательство, основанное на лемме Шварца, описано ниже в задаче 1-а. При дополнительном множителе 2 в правой части это неравенство немедленно вытекает из леммы 1.2 с помощью простой замены переменных, так как исходный диск радиуса з содержится в диске радиуса 2з с центром в /( о). [c.14] В качестве другого следствия мы видим, что наши три модельные поверхности С, С и J[I) попарно различны. Существуют естественные вложения Р — С — С, и из принципа максимума модуля следует, что всякое голоморфное отображение С —С должно быть постоянным, а из теоремы Лиувилля следует, что постоянным является и всякое голоморфное отображение С — Р. [c.14] Другое близкое утверждение состоит в следующем. Пусть и — открытое подмножество в С. [c.14] Отсюда следует равномерная сходимость на компактных подмножествах вторых производных / к / и т. д. [c.14] Рассмотрим для начала случай римановой сферы С и покажем, что i ( ) изоморфна хорошо известной комплексной группе Ли. Таким образом, i ( ) является не только группой, но и комплексным многообразием, а умножение и обращение элементов в этой группе являются голоморфными отображениями. [c.15] Далее мы покажем, что обе группы 5 (С) и Ш ) могут быть рассмотрены, как подгруппы в 5 (С). [c.16] Эта группа уже не является комплексной группой Ли, однако, она является вещественной трехмерной группой Ли, гомеоморфной полно-торию Р X 9Р. [c.17] Отсюда следует, что при всех а Р / г) 1 г 1. Следова-тельно, / отображает Р на себя. Далее, если Р — Р — произвольный конформный автоморфизм, и а Р является единственным решением уравнения g a) = О, рассмотрим отображение f z) = (г — а)/(1 — аг), которое также переводит а в нуль. Композиция go является автоморфизмом с неподвижной точкой в нуле, и, согласно лемме Шварца, имеет вид go / (г) = е г), значит g г) = е / г), что и требовалось. [c.17] Часто по соображениям удобства все рассмотрения проводятся в верхней полуплоскости Н, состоящей из всех комплексных чисел IV = и + ю таких, что 0. [c.17] Совершив нормировку а(1 — Ьс = 1, мы определяем эти коэффициенты однозначно с точностью до одновременной смены знака. Таким образом, Ш) изоморфна группе Р8Ь(2, Ж), состоящей из всех вещественных матриц 2x2 с определителем -1-1, профакторизованной по подгруппе / . [c.18] Легко устанавливается, что любой элемент gф I в группе 5 (С) содержится в единственной максимальной абелевой подгруппе, состоящей из всех таких /, что Г1х(/) = Г1х( -), вместе с единичным элементом. [c.19] Теперь мы рассмотрим группу 5 (С) автоморфизмов римановой сферы. По определению автоморфизм g называется инволюцией, ес-ли gog= 1,но gф I. [c.19] Вернуться к основной статье