ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача Кеплера в переменных действие — угол из "Классическая механика " В ряде Фурье нулевым частотам соответствуют постоянные множители. Они имеются, конечно, и в первоначальном ряде Фурье, т. е. в ряде (9.49), где они получаются при значениях h, удовлетворяющих условиям вырождения. [c.327] Многие факты, связанные с вырождением, хорошо иллюстрируются на примере движения под действием центральной силы F = —kjr . Это движение интересно также и в том отношении, что оно позволяет показать, как переменные / и ш применяются к исследованию некоторых систем. Кроме того, при этом обнаруживается связь с квантовой механикой Бора. Поэтому следующий параграф мы посвящаем подробному рассмотрению задачи Кеплера в йеременных /, w. [c.327] После выполнения интегрирования это равенство можно разрешить относительно энергии Е = Н, что даст нам Н как функцию переменных /,р, /9, ly Следует заметить, что переменные /ф и /0 войдут при этом в в виде суммы /9 + /ф, что указывает на равенство частот Vif, и V0, т. е. на вырождение. Заметим, что, делая это утверждение, мы не пользуемся тем фактом, что сила изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния. Следовательно, движение под действием центральной силы всегда имеет, по крайней мере, одну степень вырождения. [c.330] Интеграл (9,68) может быть вычислен элементарными методами, однако особенно быстро и изящно это можно сделать с помощью теории вычетов, что было впервые проделано Зоммер-фельдом. Рассмотрим в общих чертах этот способ. Прежде всего заметим, что Е следует считать отрицательным, так как только тогда движение рассматриваемой точки будет ограниченным (см. 3.3). Далее, так как интегрируемая функция равна здесь Рг = тг, то пределы изменения г определяются корнями выражения, стоящего под знаком радикала. Пусть ri — меньший из этих корней, а Гг — больший (см. рис. 24). Тогда полный цикл изменения г будет состоять из двух частей сначала г будет увеличиваться от значения Гх до значения Гг, а затем будет вновь уменьшаться до первоначального значения Гь В первой фазе этого изменения рг будет положительным, и радикал (9.68) Нужно будет брать со знаком плюс, а во второй фазе, когда рг отрицательно, его нужно будет брать со знаком минус. Следовательно, нам нужно будет произвести интегрирование двузначной функции, двигаясь на участке от ri до по одной ветви, а на участке от Г2 до Г — по другой. Так как точками разветвления этой функции являются точки гх и Г2, то комплексную плоскость этой функции можно рассматривать как один из листов римановой поверхности, разрезанной вдоль вещественной оси на участке от Г1 до Г2, как показано на рис. 65. [c.330] Ранее мы говорили, что переменные /е и /ф должны входить сюда в виде комбинации /в + /ф. Теперь мы видим, что все три переменные J входят сюда в виде комбинации Jr Je Следовательно, все частоты этого движения одинаковы и оно является полностью вырождающимся. [c.332] Полученный результат следовало ожидать заранее, так как мы знаем, что в случае силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, траектория движущейся точки является замкнутой (при iS 0). Поэтому изучаемое движение должно быть строго периодическим и, следовательно, полностью вырождающимся. Если бы центральная сила содержала член (вносимый релятивистскими поправками), то траектория была бы незамкнутой, а движение было бы непериодическим (оно совершалось бы по прецессирующему эллипсу). Одно из вырождений было бы в этом случае уничтожено, но движение все еще было бы вырождающимся, так как равенство ve = Vф справедливо для всех центральных сил. [c.332] Аналогично, Ji = Je + J t=2np и, следовательно, эта величина пропорциональна полному кинетическому моменту. Поэтому будет некоторым фиксированным углом в плоскости орбиты, таким, как, например, угол между перигелием и линией узлов. Следует заметить также, что отношение /7- 2 должно равняться косинусу угла между осью z и вектором кинетического момента. Таким образом, величины w, wi и /1//2, в сущности, являются углами Эйлера, определяющими ориентацию орбиты в пространстве. [c.334] В течение долгого времени переменные действие — угол применялись только в астрономии. Однако положение резко изменилось с появлением квантовой теории атома Бора, так как при этом было установлено, что квантовые соотношения проще всего получаются как раз с помощью переменных /. [c.334] В период развития старой квантовой теории переменным действие — угол уделялось много внимания, так как они представляли эффективный метод теоретического исследования. Но когда после атома водорода стали рассматривать более сложные системы, положение изменилось, так как пришлось учитывать много дополнительных сил. С этой целью из классической механики был заимствован метод расчета малых возмущений, и поэтому между классическими и квантовыми методами расчета таких возмущений имеется много сходства. Следует, однако, отметить, что методы классической механики являются значительно более сложными, особенно в случаях вырождения. [c.336] однако, стало ясно, что, помимо математических трудностей, здесь имеются и принципиальные, так как квантовая теория Бора недостаточно правильно отражает физическую природу явлений. Как известно, выход был найден благодаря созданию (почти одновременно) волновой механики и матричной механики. Но так как методы решения квантовых задач были в этих теориях совершенно различными, то интерес к переменным действие-угол резко уменьшился. В настоящее время они употребляются только в астрономии (т. е. в классической механике) в квантовой механике сохранились лишь некоторые из понятий, связанных с этими переменными, такие, например, как вырождение. [c.336] Хотя это может показаться странным, но новая волновая механика также связана с теорией Гамильтона — Якоби. Подобно тому как зародышем матричной механики являются классические скобки Пуассона, зародыш волновой механики можно увидеть в связи метода Гамильтона — Якоби с геометрической оптикой. К рассмотрению этой связи мы сейчас и перейдем. [c.336] Вернуться к основной статье