ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Минимальные принципы в деформационной теории пластичности из "Основы теории пластичности Издание 2 " В теории упругости большое значение имеют энергетические методы, основанные на использовании принципа минимума потенциальной энергии и принципа Кастильяно. В настояш,ем параграфе устанавливаются аналогичные теоремы в деформационной теории пластичности. [c.312] Пусть деформируемое тело занимает объем V, ограниченный поверхностью на части поверхности 8р заданы поверхностные силы с составляющими на другой части 3 заданы перемещения состоянию равновесия тела отвечают перемещения и,-. Для простоты полагаем, что объемные силы отсутствуют. [c.312] Доказательство проводится так же, как и для формулы (64.6). Пусть напряжения и деформации следуют уравнениям деформационной теории ( 14), т. е. [c.312] Очевидно, что сте представляет собой удвоенную упругую энергию объемного сжатия (рис. 211, с). [c.313] Заметим, что это уравнение можно получить формальным путем — преобразуя поверхностный интеграл и используя уравнения равновесия (аналогично выводу уравнения (64.6)). [c.314] Действительная форма равновесия тела отличается от всех возможных форм тем. что сообщает полной энергии минимальное (см. ниже) значение. [c.314] Вариационное уравнение (67.10) заменяет собой граничные условия и дифференциальные уравнения равновесия в смещениях (20.2), обобщающие уравнения Ламе в теории упругости ( 20). [c.314] На части поверхности S перемещения заданы, поэтому на S 6и,- = 0 внутри тела и на поверхности Sp вариации 6u произвольны, и из (67.11) вытекают дифференциальные уравнения равновесия в смещениях (20.2) и соответствую-U И 11I ничные условия на Sp. [c.314] Рассмотрим частные случаи состояний среды — упругое, текучести и упрочнения. [c.315] При условии независимости внешних сил от перемещений полная энергия упругой системы получает минимальное значение. [c.315] Неотрицательную квадратичную форму вариаций деформаций будем обозначать через (бб,у). Итак, б П О, но тогда и б Э 0. [c.315] При прежнем условии независимости внешних сил от перемещений в этом случае выполняется лишь необходимое условие минимума для действительной формы равновесия. [c.315] Так как О, Г О, то б П О, ибо выражение внутри фигурных скобок может обратиться в нуль при бух, буз, буз, отличных от нуля. [c.316] Следует заметить, что если в теле имеются упругие зоны, то в них 6 П О и тогда б 3 0. [c.316] При том же условии независимости внешних сил от перемещений энергия системы в состоянии действительного равновесия достигает минимума. [c.316] Г должно иметь одно и то же постоянное значение. [c.317] Такие напряженные состояния условимся называть статически возможными. [c.318] Условие (67.18) выполняется, например, если на всей поверхности тела заданы внешние силы, тогда бХ ,- = 0. Могут быть заданы только некоторые из компонент внешнего усилия, а для остальных соответствующие смещения равны нулю. [c.318] При выводе вариационного уравнения (67.19) совершенно не затрагивались механические свойства сплошной среды, использована лишь ее непрерывность. Действительному напряженному состоянию соответствуют деформации, для которых выполняются условия совместности Сен-Венана. Можно показать, что условия совместности Сен-Венана вытекают из уравнения (67.19). Следовательно, вариационное уравнение (67.19) является энергетической формулировкой условия неразрывности деформаций (доказательство имеется в курсе Л. С. Лейбензона Р ]). [c.318] Рассмотрим разные случаи кривой Т = -(Г)Г (рис. 213). Работа деформации изображается площадью, заштрихованной вертикальными линиями, дополнительная работа —площадью, заштрихованной горизонтальными линиями. [c.319] Вернуться к основной статье