ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача оптимального быстродействия для линейной системы из "Асимптотические методы оптимизации возмущенных динамических систем " Предположение ПЛ. Матрица устойчивая, т, е. действительные части всех ее собственных значений отрицательны. [c.83] Заметим, что это предположение есть ничто иное как условие г ) из 5, наложенное на рассматриваемую сингулярно возмущенную систему. [c.83] Что касается точек переключения оптимального управления в исходной задаче, то они при достаточно малом ц делятся на три фуппы. К первой группе относятся точки, сосредоточенные вблизи начального момента. Множество таких точек, как отмечается в [106], может быть и пустым. Вторая группа состоит из точек, близких к соответствующим точкам переключения решения задачи (11.2). Наконец, третьей группе принадлежат точки, отстоящие от момента оптимального быстродействия на величины порядка ц. [c.84] В которой 4 ц) — Ао, X i) 0 при ц — 0. Это позволяет уточнить результаты, полученные в [106]. Оптимальное управление в регулярно возмущенной задаче (11.3) может иметь точки переключения, близкие к начальному моменту, лишь в том случае, когда коуправление базовой задачи (11.2) обращается в начальный момент в нуль. Поэтому появление у оптимального управления в сингулярно возмущенной задаче первой группы точек переключения, скорее, исключение, чем правило. [c.84] как следует из теоремы Тихонова (см. п, 5.1), при выполнении предположения ИЛ траектория ц), г(/, ц), t е [О, Г], сингулярно возмущенной системы, порожденная управлением u t / е [О, Г], и начальным состоянием у(0) = у,, г(0) = 2, обладает при следующим свойством ц) о(0 равномерно на [О, Г], а z t, ц) 2о(0 всюду на ]0, Г] за исключением точек переключения управления. На рис. I изображен случай, когда г - скаляры, управление (0, t е [О, Г], имеет две точки переключения /ь /2, а у Т) = 0. Тогда в силу (11.4) = Поскольку 2о(0 - разрывная функция, а 7(/,м) 1спрерывная, то справа от каждой точки переключения, как и в начале промежутка [О, Г], возникает пограничный слой, в котором быстрая переменная изменяется с большой скоростью, оправдывая свое название. [c.85] На первый взгляд может показаться, что при малом ц перевести одновременно медленную и быструю переменную в нуль с помощью релейных управлений невозможно. Если медленная переменная при некотором Т станет равной нулю, то быстрая, вроде бы, должна оказаться в малой окрестности точки - А1 Ъ2и(Т), а вместе с тем, для релейных управлений м(Г) = 1. Однако, если при подходе медленной переменной к нулю переключить управление, то у быстрой переменной возникнет пограничный слой, и она, изменяясь с большой скоростью, может попасть в нуль одновременно с медленной переменной. Такая ситуация изображена на рис. 2. [c.85] Таким образом, появление у оптимального управления в сингулярно возмущенной задаче пограничных точек переключения, отстоящих от конечного момента на величины порядка ц, вызвано не столько оптимальностью, сколько допустимостью этого управления. [c.86] В дальнейшем для описания пограничных точек переключения мы введем в рассмотрение еще одну невозмущенную задачу оптимального управления, меньшей размерности, чем исходная. Ее решение вместе с решением вырожденной задачи полностью определяет структуру оптимального управления в задаче (ИЛ). Знание этой структуры дает возможность с помощью изложенной в п. 7.2. методики разложить точки переключения оптимального управления и момент оптимального быстродействия по целым степеням ц и тем самым построить для заданного натурального числа ЛГ асимптотически субоптимальное управление Л/-го порядка в рассмотренной задаче (см. определение 7.2). [c.86] Предположение 11.2. В задаче (11.2) существует оптимальное управление u t)y / е [О, Гд]. [c.87] При выполнении этих условий управление (/), t е [О, Г ], будет релейным с точками переключения /о1 — о/ причем / и -1. [c.87] Эту задачу будем называть второй базовой. [c.88] Тогда моменты iqi только они будут точками переключения оптимального управления, причем р т. [c.89] Оптимальную траекторию, порожденную управлением и (s), s 0, обозначим через z s), s 0, Заметим, что м ( ) = -1, z (s) A b2 при S Soi. Отсюда видно, что задача (11.9) эквивалентна аналогичной задаче с конечной, но достаточно большой длительностью процесса. [c.89] Вектор ко определен с точностью до положительного множителя. Будем считать, что + vof =1. [c.89] Доказательство будет конструктивным и предопределит дальнейшие вычисление при построении асимптотически субоптимальных управлений в исходной задаче. В его основу положены следующие соображения. [c.90] Доказательство. Прежде всего, покажем, что левые части уравнений (11Л 7), (11-21) допускают асимптотические разложения по целым степеням малого параметра, и получим формулы для коэффициентов этих разложений. [c.91] Для 2 , Л 1, имеет место аналогичная формула с той лишь разницей, что заменяется на 2 - на 4 , а вместо ф, , П ,ф1 соответственно имеем фз , П 5ф2. [c.94] Вернуться к основной статье