ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Распределение температур в полупространстве из "Механика контактного взаимодействия " Читатель уже оценил преимущества, которые дает при вычислении упругих деформаций тела замена реального профиля полупространствами, ограниченными плоскими поверхностями. Та же самая идеализация полезна при вычислении температур в задачах теплопроводности. Она может быть обоснована тем же самым образом температурные градиенты, которые приводят к термическим напряжениям или искажениям поверхностей тел, велики только в окрестности области контакта, где реальные поверхности тел близки к плоским. Изменения температуры внутри всего объема тел приводят лишь к растяжениям и сжатиям, близким к равномерным, которые не создают термических напряжений и не меняют заметно профиль тел в области контакта. [c.425] Теория теплопроводности в твердых телах не является предметом этой книги. Полное изложение такой теории и решение большинства необходимых нам задач содержатся в книге [50]. Здесь будут суммированы лишь результаты. Будем интересоваться потоком тепла в полупространство через ограниченную область поверхности. Начнем с отыскания распределения температуры в полупространстве от точечного источника тепла, действующего на его поверхности. Так как уравнение теплопроводности линейное, то распределение температур от произвольного распределения тепла на поверхности можно найти как суперпозицию решений для точечных источников. Это аналогично тому, как распределения упругих напряжений от поверхностных усилий были определены в гл. 2 и 3 по решениям для сосредоточенной силы. [c.425] Полупространство предполагается однородным с коэффициентом теплопроводности к, плотностью р, удельной теплоемкостью с коэффициентом температуропроводности % = к/рс. [c.425] Пусть количество тепла Я мгновенно высвобождается в мо мент = О в начале координат О на поверхности полупростран-ства, температура которого изначально постоянна и равна 6о. Температура в последующие моменты времени в точке на расстоянии R от начала координат дается выражением [50, 10.2]. [c.426] Бесконечная температура при R = 0 есть следствие предположения, что тепло сосредоточено в точке. [c.426] В действительности тепло проникает через поверхность тела по конечной площадке. Предполагая, что остальная поверхность тела абсолютно изолирована, температуру внутри тела можно найти суперпозицией решений от точечных источников или распределения источников вдоль прямой. Если тепло прикладывается с постоянной скоростью А на единицу площади, то могут быть использованы уравнения (12.3) и (12.4). [c.427] Предположим, что требуется найти стационарное распределение температуры на поверхности полупространства, когда стационарное распределение тепла задано по малой площадке А поверхности. Применим формулу (12.4) для точечного источника, обозначая через 6 температуру поверхности на расстоянии г от источника. Читатель обнаружит, что уравнение (12.4) аналогично уравнению (3.22Ь), которое выражает нормальные перемещения йг в точке поверхности упругого полупространства от сосредоточенной силы г, т. е. [c.427] Точно так же температура поверхности от равномерно распределенного по многоугольнику источника может быть найдена из результатов 3.3. [c.427] Чтобы исследовать температуру, возникающую из-за фрикционного выделения тепла при контакте скольжения, требуется найти температуру в полупространстве от теплового источника. [c.428] Будем теперь анализировать двумерную задачу о бесконечно длинном источнике тепла вдоль оси у, равномерно распределенном на полосе —а х а. В соответствии с рис. 12.1 распределенный источник рассматривается как набор источников интенсивности й, действующих вдоль прямой. Элемент материала в точке ( X, г) в момент 1 был расположен в точке (д —г) в предыдущий момент I —1. Тепло, высвобождаемое источником в точке 5 за время И, составляет гdsdf, и, таким образом, стационарная температура элемента, расположенного в данный момент в точке х, находится интегрированием уравнения (12.2) от = —-схэ до текущего момента = 0. [c.428] Так как уравнение (12.9) базируется на представлении об одномерном потоке тепла в тело, оно приложимо к случаям равномерного распределения источников в любой плоской области. Так, средняя температура для распределения источников по области квадрата со стороной 2а также дается формулой (12.10). [c.430] При очень низких скоростях ( 0.1) распределение температур становится симметричным и подобным тому, которое имеет место для стационарного источника. В случае бесконечно длинного ленточного распределения источников стационарная температура не достигается, однако для распределения по квадрату достигается максимальная температура 6о + 1.12/га/й в центре и средняя температура в нагретой зоне, равная боЧ-+ 0.946Яа/к. [c.430] Вернуться к основной статье