ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод Рнтца из "Теория упругости " Доказательство теоремы существования решения задач теории упругости представляет значительные математические трудности. [c.91] Первоначальные сведения о доказательствах теоремы существования решения, которые даны Корном (1907) и Лихтенштейном (1924), можно получить в работах 15, 3]. [c.91] Во втором состоянии тело подвергается действию массовых сил ft и поверхностных сил / , а напряженно-деформированное состояние тёла определяется функциями е/ , а . [c.92] Теорема Бетти утверждает работа сид первого состояния на перемещениях второго состояния равна работе еил второго oethm-ния на перемещениях первого состояния. [c.92] С помощью теоремы Бетти весьма просто можно решить некоторые задачи об упругом теле, находящемся в равновесии под действием массовых сил / и поверхностных t . В качестве первого состояния рассматриваемого тела примем некоторое простейшее его напряженЯЬ-деформированное состояиие, а. за второе — состояние под действием заданных снл и t . [c.92] Найдем, иапрнмер, изменение длины I и объема V призматического бруса произвольного поперечного сечения площадью Р под действием его собственного веса Q = Р1ри, когда брус поставлен своим основанием на горизонтальную плоскость и когда тот же брус положу на горизонтальную плоскость своей боковой поверхностью (рис. 5.2). [c.94] Теорема Бетти имеет весьма общий характер. Она позволяет построить методы интегрирования уравнений теории упругости, основанные на использовании функций Грина 14). [c.94] Необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его первой вариации bJ, т. е. главной части приращения функционала, которая линейна по отношению к вариации функции 6и. [c.95] Краткие сведения некоторых основных понятий вариационного исчисления приведены с целью напомнить, что решение вариационной задачи эквивалентно решению граничной задачи для дифференциального уравнения, которое является уравнением Эйлера или уравнением Эйлера—Остроградского для данного функционала. [c.96] Обычно диффереициальные уравиения вариационных задач интегрируются в конечном виде лишь в исключительных случаях. Поэтому возникает необходимость решения вариационных задач непосредственными или прямыми методами, т. е. без решения соответствующих дифференциальных уравнений. [c.96] Основная идея прямых методов состоит в том, что вариационную задачу можно рассматривать как предельную для некоторой задачи на экстремум функции конечного числа параметров. [c.96] В теории упругости рассматриваются преимущественно два вариационных принципа — принцип минимума потенциальной энергии и принцип минимума дополнительной работы (принцип Кастильяно). [c.97] Пусть под действием массовых сил f, и поверхностных сил /, тело объемом V, ограниченное поверхностью 5, находится в равновесии, а его деформированное состояние определяется перемещениями щ. [c.97] Согласно принципу возможных перемещений для сплошных сред, работа воех внешних и внутренних сил на малых возможных перемещениях точек тела из состояния его равновесия равиа нулю. Эта формулировка принципа возможных перемещений для сплошных сред эквивалентна следующему утвержден1гю. [c.97] Возможными перемещениями бщ в случае сплошного тела являются любые малые перемещения, которые удовлетворяют условиям непрерывности тела и условиям перемещений на поверхности тела, т. е. непрерывны вместе со своими производными первого порядка и должны обращаться в нуль на части S поверхности тела, где заданы перемещения и . [c.97] Уравнение (5.36) называется вариационным уравнением Лагранжа. [c.98] Предадут рассуждения и уравнение (5.36) справедливы для любого упругого тела. [c.98] Вернуться к основной статье