ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие теоремы и вариационные принципы из "Теория упругости " Принцип Сен-Венана можио сформулировать также следующим образом если некоторую совокупность поверхностных сил на сравнительно малой части поверхности тела заменить статически эквивалентной системой сил, действующих на той оке части поверхности, то такая замена сил практически не изжнит напряжений и перемещений в точках, удаленных от плои адки приложения сил на расстояния, не меньшие наибольшего линейного размера этой площадки. [c.82] Принцип Сен-Венана позволяет удовлетворять граничные условия интегрально, т. е. удовлетворять на конкретному закону распределения поверхностных сил, а нх главному вектору н главному моменту. [c.82] Принцип Сен-Венана достаточно хорошо подтверждается экспериментально, хотя еще н сейчас не имеет законченного теоретического обоснования. Обзор работ, посвященных исследованию н математическому обоснованию принципа Сен-Венана, можно найти в статье 1231. [c.82] Задачи, в которых компоненты тензора напряжений oij (Xh), а следовательно на основаннн (4.5) и компоненты тензора деформации 8г/ (Xk), определяющие напряженно-деформированное состояние упругого тела, являются линейными функциями координат х,, его точек или постоянными величинами, называютсн простейшими задачами теории упругости. [c.82] В тех случаях, когда массовые силы / можно считать равными нулю, условия совместности Бельтрами—Мичелла (4.54) при линейных функциях oi (ATfe) удовлеторяются тождественно. Следовательно, если эти функции не будут противоречить уравнениям равновесия (4.3), то они представляют точное решение рассматриваемой задачи при выполнении ее граничных условий (4.6). Прн этом в силу теоремы о единственности (см. гл. V) это решение будет однозначным. [c.82] Простейшие задачи теории упругости решаются нлн полуобратным методом Сеи-Венана, нли как обратные задачи в тех случаях, когда решение фактически сводится к проверке решений задач, известных из сопротивления материалов. [c.82] Растяжение призматического бруса. Рассмотрим призматический брус (рис. 4.2), длина I которого значительно больше наибольшего линейного размера поперечного сечення произвольной формы. Начало координат О совместим с центром тнжестн левого торца бруса, направив ось Хз по оси бруса. Боковая поверхность бруса свободна от поверхностных сил, а к торцам приложены распределенные равномерно поверхностные силы /3=0 (ti = t = 0), которые растягивают брус равнодействующими Р = oF, где F — площадь поперечного сечения. Полагаем, что массовые силы /г равны нулю. [c.82] По формуле (4.5) закона Гука находим U = 822 ---(v/ )o, ess = (1/E) о. [c.83] Таким образом, полученные из основных уравнений теории упругости результаты, являясь точным решением рассматриваемой задачи, совпадают с решением, и звестиым из курса сопротивления материалов. [c.84] Однако это решение будет точным при условии, что силы, растягивающие брус, распределены по его торцам равномерно. Но согласно принципу Сеа-Венана это решение можно считать точным и при ином способе приложения растягивающих снл Р. [c.84] Растяжение призматического бруса под действием собственного веса. Вертикально расположенный призматический брус нс. 4.3) длиной I закреплен по верхнему торцу и находится под действием собственного веса. Начало координат О совместим с центром тяжести нижнего торца недеформированного бруса, направив ось Хц вверх по осн бруса. [c.84] Эта поверхность будет перпендикулярна всем продольным волокнам бруса, которые после деформации наклоняются к оси Ха, что соответствует отсутствию угловых деформаций у12 = 2в12. VI з = = 2813 и у2з = 2823. [c.85] Отмеченные выводы схематически отражены иа рис. 4.4, где пунктиром показана форма бруса после деформации. [c.85] Так как для любой точки боковой поверхности бруса Пц = О, то граничные условия (б) удовлетворяются, если боковая поверхность свободна от внешних снл, что соответствует условию задачи. [c.86] Только прн этих условиях, строго говоря, решение (а) является точным. Но из принципа Сен-Венаиа следует, что решение (а) будет справедливо для точек основной части бруса, достаточно удаленных от его торцов, н в том случае, когда поверхностные силы иа торцах, приводящиеся к моментам М, имеют любой другой закон распределения. [c.86] Последнее равенство представляет собой уравнение изогнутой оси (упругой линии) бруса. [c.87] Всесторониее,равномерное сжатие тела. Пусть к поверхности произвольной формы тела, не имеющего внутренних полостей, приложено равномерное давление р, а массовые силы отсутствуют. [c.87] Естественно предположить, что все точки тела будут испытывать одинаковое напряженное состояние, определяемое шаровым тензором П) = —р 1), т. е. [c.88] Значит при данном нагружении тела решение (а) является точным. [c.88] Вернуться к основной статье