ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Прямая и обратная задачи теории упругости из "Теория упругости " Рассмотрим деформирование. однородного изотропного тела, сопровождающееся изменением его температуры. [c.66] Предположим, что в естественном состоянии (е,/ = О, ог/ = 0) тело имеет некоторую постоянную температуру То. [c.66] Представим себе в окрестности произвольной точки М (х,) тела его единичный элемент, который можно считать нагретым равномерно. Пусть О = Т — То есть изменение температуры в этой точке тела, зависящее от координат XI. Тепловая деформация элемента встречает упругое сопротивление тела, поэтому дополнительно возникают Упругие деформации. В результате деформированное состояние окрестности точки М (Х1) будет определяться тензором деформации, компоненты которого e J представляют сумму тепловой деформации 8/ и силовой упругой деформации е/у. [c.66] Будем рассматривать малые изменения температуры О = Т — Т в точках тела, при которых тепловая деформация имеет величину одного порядка малости по сравнению с eif, а упругие постоянные материала и коэффициент линейного расширения а остаются при этом такими же, как и при Тс. [c.67] Термодинамическими параметрами, описывающими состояние упругого тела, будут компоненты теизора деформации и температура Т - Т + О. [c.67] Первое выражение в правой части последнего равенства представляет собой силовую упругую деформацию а второе — тепловую деформацию е//. [c.68] Соотношения, определяемые формулами (3.87) и (3.90), впервые (1838) были получены Дюамелем (1797—1872) и несколько позднее Ф. Нейманом (1798—1895). Поэтому эти формулы называют законом Дюамеля—Неймана. [c.68] В предыдущих трех главах уже получены основные уравнения теории упругости, представляющие замкнутую систему уравнений которая позволяет выяснить напряженио-деформированное состояние тела как результат внешнего воздействия иа него. [c.69] Вначале дадим общую сводку основных уравнений для задач равновесия упругого тела, которые составляют содержание раздела теории упругости, называемого обычно статикой упругого тела. [c.69] Граничные условия могут также иметь смешанный характер, когда на одной части 5( поверхности тела заданы внешние поверхностные силы 1 (х ), а на другой части поверхности тела заданы перемещения Г х.у. [c.70] Возможны и иного рода граничные условия. Например, на некотором участке поверхности тела заданы только некоторые компоненты щ вектора перемещения и, кроме того, также не все компоненты и вектора поверхностной силы. [c.70] Искомые девять функций должны удовлетворять основным уравнениям (4.3) и (4.4), а также граничным условиям (4.6). [c.70] Основная задача второго типа состоит в определении перемещений г х ) точек внутри области V и компонент тензора поля напряжений 01] (дс ,) по заданным массовым силам /г и по заданным перемещениям Р (х ) на поверхности тела. [c.70] Искомые функции ш х ) и (лгц) должны удовлетворять основным уравнениям (4.3) и (4.4) и граничным условиям (4.7). [c.70] Заметим, что граничные условия (4.7) отражают требование о непрерывности определяемых функций щ (д ) на границе 5 тела, т. е. когда внутренняя точка М (х,,) стремится к некоторой точке поверхности 5, функция I (д ) должна стремиться к заданному значению (л,) Б данной точке йоверхности. [c.71] Основная задача третьего типа нлн смешанная задача состоит в том, что по заданным поверхностным силам и Xs) на одной части поверхности тела 5 и по заданным перемещениям (Хе) на другой части поверхности тела а также, вообще говоря, по заданным массовым силам / требуется определить компоненты теизора напряжений сц х ) и перемещения щ (д ), удовлетворяющие основным уравиеииям (4.3) и (4.4) при выполнении смешанных граничных условий (4.8). [c.71] Получив решение данной задачи, можио определить, в частности, усилия связей иа которые должны быть приложены в точках поверхности 5 , чтобы реализовать заданные перемещения (ж,) на этой поверхности, а также можио вычислить перемещения щ точек поверхности 5(. [c.71] Различают две постановки задач теории упругости прямую и обратную. [c.71] Решение прямой задачи часто сопряжено с большими математическими трудностями. [c.71] Обратная задача состоит в том, что, задавшись либо перемещениями щ как непрерывными функциями щ = щ (д ), либо компонентами теизора напряжений, т. е. шестью функциями оц = = а) (Хк), определяют из основных уравнений (4.1)—(4.4) и соответствующих граничных условий все остальные функции, а также внешние силы, осуществляющие заданные перемещения , или заданные функции Ог . [c.71] Вернуться к основной статье