ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Исходные понятия математической статистики из "Основы теории надежности ракетных двигателей " Математическая статистика все более формируется как относительно самостоятельная область исследования и приложений. Основываясь на теории вероятностей, она учитывает тот практически существенный факт, что в реальной ситуации всегда приходится иметь дело с опытными (экспериментальными) данными, объем которых ограничен. Вместе с тем, используя их, необходимо составить заключение относительно вида функции распределения, значений параметров распределений (средних, дисперсий и др.) требуется также принимать решение в пользу одной из нескольких гипотез относительно показателей качества и надежности систем, планировать объем испытаний и т. д. Подобные задачи вызывают необходимость использования специфических методов математической статистики. В ряде случаев эти методы представляются в виде, более общем, чем методы теории вероятностей, так как при неограниченном увеличении числа испытаний соответствующие результаты асимптотически (или в пределе по вероятности) совпадают. [c.41] Основным объектом исследования в области статистики является случайная выборка объема п из совокупности с функцией распределения F x). [c.41] Рассмотрим некоторые из используемых далее задач математической статистики. [c.41] Оценка 0 называется эффективной, если ее среднее квадратическое отклонение относительно 0 не больще, чем среднее квадратическое отклонение относительно 0 для любой другой оценки. [c.42] Наряду с определением точечной оценки для параметра 0 в прикладных задачах возникает необходимость отыскания оценки (х, 0) для функции распределения Р х, 0). Из соотношения (1.71) следует, что в общем случае при М[0 ] = 0 оценка Р х, в) фР(х,Ъ). Это затрудняет отыскание величины Р х 0) и требует применения специальных приемов. [c.42] В случае, когда 6 — вектор, число уравнений вида (1.126) равно числу компонентов вектора. Получаемые таким методом оценки являются состоятельными, асимптотически (при п- оо) эффективными и достаточными, если достаточная статистика существует. Однако не во всех случаях они оказываются несмещенными. [c.43] Пример 1.2. Оценка параметров нормального распределения. [c.43] Найдем оценки для я и ст. [c.43] Пример 1.3. Оценка параметров распределения Вейбулла. [c.44] Заметим, что из соотношения (1 132) следует пр 1 с=1—экспоненциальный закон распределения при с = 2 — закон распределения Релея, а при с = 3,2 асимметрии и эксцесс функции плотности вероятности исчезают и выражение (1. 132) описывает приближенно нормальное (слабоусеченное) распределение. [c.44] Рассматриваются также и другие функции потерь, для которых находят минимакс. Кроме того, используют метод наименьших квадратов и методов моментов [69]. [c.45] Если процедуры и методы точечного оценивания параметров распределения в настоящее время исследованы достаточно полно, то методы такого оценивания для функций распределения находятся еще в стадии разработки. Основываясь на данных работ [41, 72], приведем некоторые известные здесь результаты. [c.46] Характерно, что если функцию распределения Пуассона получают предельным переходом из биномиального распределения, то ее оценка как бы вновь возвращается к биномиальной форме. [c.49] При рассмотрении гипотезы говорят, что она содержит один элемент, если множество Яо(Я) = состоит из одного элемента (например, Я= [ Ыо ). Гипотеза, содержащая один элемент, называется простой. В противоположном случае она называется сложной (например Яо= .х 1о ). [c.49] Здесь S y — квантиль распределения статистики g (0, 0), соответствующая вероятности у. [c.50] Условие отклонения Яо является одновременно условием принятия Я. [c.50] Величину а называют также ошибкой первого рода, определяя ошибку второго рода как = P /n 5 Я . [c.51] Из выражения (1.155) следует, что в целях наиболее удобного представления критической области целесообразно предъявить следующие требования к функции g (0, 0). [c.51] Если 01 = —оо, а 02 = 00, то вместо отрезков 0i, 0], [02, 0] следует писать (—оо, 0] и [О, оо) соответственно. [c.52] Аналогично проверяются гипотезы и относительно среднего квадратического отклонения сг, такие как Яо= сг = сГо при Я= а ао Яо= а = сго при Я= а сг и Яо= а = сГо при Н= офОо . [c.53] Вернуться к основной статье