ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Мягкие диссипативные структуры из "Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии " А(ц) = II II — матрица Якоби W(n, м) — нелинейная вектор-функция, д — бифуркационный параметр. Будем считать, чтоЛ (д) и W(n, и) аналитичны по д. [c.175] Уравнение (4.3) фи любых значениях параметра ц имеет тривиальное решение м = 0. Можно показать, что спектр линейного оператора R(fi) точечный. Предположим, что существует такое значение параметра ц, что тривиальное решение теряет устойчивость, т.е. хотя бы одно собственное значение оператора Л(д) пересекает мнимую ось. Пусть при м = До одно простое собственное значение Х(до) = 0. при этом считаются выполненными условия трансверсальности — КеХ (до) Ф 0. т.е. мнимая ось пересекается с ненулевой скоростью. Тогда, по теореме о центральном многообразии, для д из окрестности До существует однопараметрическое семейство стационарных решений, которые будут строиться следующим образом. [c.175] Здесь е = (м(е), и ) (Скобки означают скалярное произведение, а и и и — это ортонормированные србственные функции операторов Л(до) и ему сопряженного / (до), соответствующие нулевому собственному значению). [c.176] Из этого условия мы можем определить неизвестное значение а затем, решив уравнение (4.11), найти и . Последовательно применяя описанную выше процедуру, можно найти Д], иг, Мз, из и т.д. [c.177] Мы не будем рассматривать вырождения более высокого порядка и ограничимся случаем Мг Ф 0. [c.177] М Ке д О, то решения устойчивы, если же имеет место противоположное неравенство, то неустойчивы. На бифуркационных диаграммах (см. рис. 74) сплошная линия соответствует устойчивым решениям. [c.177] В малой окрестности точки бифуркации решение определяется собственной функцией оператора Л(до), соответствующей нулевому собственному значению. Для систем вида (4.1), называемым еще системами реакция-диффузия , собственная функция состоит из двух частей пространственной, описывающей неоднородность по пространству и амплитудной, определяющей (правда, не полностью) растяжение пространственной неоднородности. Наибольший интерес представляет пространственная составляющая, полностью определяемая спектральной задачей для оператора Лапласа при соответствующих граничных условиях. Так, в случае одномерного ареала возникающие после бифуркации неоднородные по пространству стационарные решения описываются синусоидой, при круговом ареале — колпачком в центре круга и т.д. Это и есть обычные формы мягких диссипативных структур. [c.178] Вернуться к основной статье