ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Линейный анализ устойчивости стационарного однородного решения. Диффузионная неустойчивость в сообществе из двух видов из "Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии " мы видим, что трофическая функция — вольтерровская, но коэффициент смертности хищника не постоянен (как в вольтерровской модели), а линейно возрастает с ростом численности. Это вполне обычная ситуация, если среди хищников существует сильная внутривидовая конкуренция не за трофический, а за какой-либо другой ресурс (в гл. I мы уже встречались с таким заданием, как функции рождаемости и функции смертности, - правда, только для одной популяции). [c.148] Оо = 1. На рис. 65 изображены эти области. Из них видно, что при выборе одинаковых масштабов параметров 5, о и то и при 5 1 ширина областей диффузионной неустойчивости по о и то очень мала, области узкие, и вероятность попасть туда ниэка. Однако с ростом 5, г.е. когда различие в подвижностях видов возрастает, ширина областей также растет. [c.149] В 1 этой главы мы употребили термш соответствующие граничные условия . Здесь же мы его расшифруем. Обычно Л Кдс, О -это плотность особей /-го вида в точке х С, где область С — ареал обитания рассматриваемого сообщества. Мы считаем, что С — ограниченная область, тогда характер решений будет сильно зависеть от граничных условий. Наиболее простым (и наиболее естественным с экологической точки зрения) будет условие непроницаемости границы области, т.е. [c.149] 3 этой главы мы провели предварительный анализ феномена диффузионной неустойчивости в системе из двух видов. Здесь же мы продолжим этот анализ, но более строго. [c.150] Будем полагать, что якобиан системы при д из некоторого интервала / отличен от нуля. Тогда можно рассматривать стационарное однородное по пространству решение (6.1) как функцию параметра д М = Л (д), существующую при /. [c.151] Если одно из этих неравенств нарушается при некотором значении параметра д = д , то мы будем говорить, что имеет место потеря устойчивости стационарного однородного решения N 1). Если для некоторого значения М = М второе неравенство обращается в равенство (АеХ Ь = 0), то при этом в спектре оператора К появляется одно нулевое собственное значение, а если же в равенство обращается первое неравенство = 0), то в спектре К появляются два комплексно-сопряженных собственных значения. В первом случае почти всегда возникает стационарное неоднородное по пространству решение (диссипативная структура), а во втором — периодическое во времени рещение. Поэтому первый вариант потери устойчивости стационарного однородного рещения будем называть стационарной потерей устойчивости, а второй - колебательной потерей устойчивости. [c.152] Очевидно,, что границы областей устойчивости будут задаваться равенствами 5р/,м = О и йе. Lм= 0. Для более наглядного представления этих границ выберем один из трех параметров ( , 1 или а%) при фиксированных 5 и двух других параметрах (например, д 1 и Д2, если выбран параметр g ). Тогда в плоскости выбранного параметра и М (например, в плоскости g, М]) можно исследовать границу устойчивости. [c.152] Различные типы g,M) — диаграмм изображены на рис. 67 (для случая Л/ 0). [c.153] Аналогичные диаграммы будут и для случая Л/ О, но только из-за указанных выше особенностей, связанных с выполнением условия spZ,M О, ограничения сверху переходят в ограничения снизу. Представление области устойчивости в виде (g, М) — диаграмм позволяет наглядно исследовать характер потери устойчивости при вариациях параметров g тл М. Заметим, что последний полностью определяется геометрией области и типом граничных условий. [c.153] Более внимательное рассмотрение рис. 67 демонстрирует нам, что геометрия областей устойчивости может быть весьма причудливой. Возникает естественный вопрос а возможна ли разумная классификация этих областей (или их сечений) Оказывается, возможна, и для этого достаточно на оси М распределить, проранжировав, М-координаты характерных точек (центра гиперболы, их экстремумов — если они существуют, точек пересечения прямой и ветвей гиперболы) и Л/-координаты точек, в которых значение g на прямой (5.7) совпадает с значением g в экстремуме гиперболы. Каждому такому набору соответствует определенное сечение области устойчивости плоскостью g, М), а каждому такому сечению отвечает определенный набор возможных типов потери устойчивости при изменении g. Для того чтобы сделать эту классификацию конструктивной, можно, например, зафиксировать 5, а плоскость оставшихся параметров (Д1, Дг) разбить на области, соответствующие определенным типам Сечений. [c.155] В этой книге мы не будем давать полную классификацию типов сечений — она весьма громоздка, а приведем лишь некоторые результаты, касающиеся областей в пространстве безразмерных параметров, для которых возможно возникновение диссипативных структур. Например, это области в плоскости а 1, Дг - см.рис.68. Заметим, что при б = 1 они исчезают. [c.155] Вернуться к основной статье