ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры линейных дифференциальных уравнений случай одной переменной из "Синергетика иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах " Как показано в разд. 1.14 и 1.16, линейные дифференциальные уравнения играют важную роль в анализе устойчивости решений нелинейных уравнений, поэтому и здесь, и далее мы будем рассматривать временную зависимость решений (2.1.5) при больших временах 1. Ясно, что при асимптотическое поведение решения (2.1.5) определяется знаком Не Я). Если Не Я) 0, то д возрастает экспоненциально. Если Не [Х] = О, то д (/) — постоянная. Наконец, если Ке Я 0, то д экспоненциально затухает. Число X называется характеристическим показателем. [c.92] При п Ф о сумма в (2.1.9) сходится по крайней мере в тех случаях, когда сходится сумма в (2.1.8). Следовательно, сумма в (2.1.9) есть периодическая функция, и асимптотическое поведение решения 2.1.7) определяется коэффициентом Со в (2.1.8). В зависимости от того, будет его вещественная часть положительна, равна нулю или отрицательна, мы получим экспоненциальный рост, нейтральное решение или экспоненциальное затухание. [c.93] Поскольку экспонента от периодической функции есть снова периодическая функция, и (/) периодична. Итак, мы установили, что решения дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами а (/) имеют вид (2.1.10), где и (/) — периодическая функция. Поскольку и (/) ограничена, асимптотическое поведение д t) определяется показателем Ке 1/), как и утверждалось. [c.93] Здесь К — постоянная. При т - оо левая часть (2.1.20) по-прежнему может стремиться к нулю, но достаточно медленно. Условие (2,1.20), (2.1.21) называется условием - Колмогорова—Арнольда—Мозера, или сокращенно условием KAM. Если задана реальная система, то возникает вопрос, удовлетворяют ли ее частоты условию KAM (2.1.20), (2.1.21). С точки зрения математики такой вопрос разумен, однако ответить на него для реальных систем весьма трудно, если вообще возможно. Кроме того, поскольку системы подвержены флуктуациям, весьма сомнительно, чтобы условие KAM выполнялось при любых t, даже если оно выполняется прн каком-то t. Более разумен другой вопрос какова вероятность того, что данные частоты удовлетворяют условию KAM Ответ на него дает следующая математическая теорема (которую мы приведем без доказательства) в пространстве со = (ш , соа,. -. , м ) относительная мера тех со, которые не удовлетворяют условию KAM, стремится к нулю как К. Следовательно, при достаточно малых К большинство (О удовлетворяет неравенству (2.1.20). [c.95] Так как ряд в (2.1.31) сходится абсолютно, функция и (/) ограничена. Следовательно, асимптотическое поведение решения (2.1.29) определяется экспонентой ехр (И). [c.97] Обратимся теперь к однородному уравнению общего типа. [c.97] Таким образом, обобщенный характеристический показатель имеет тот же смысл, что и вещественная часть (характеристического) показателя Я в простейшем случае дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. [c.99] Оно означает, что q — собственная функция оператора сдвига Т, соответствующая собственному значению а, и следует из инвариантности уравнения (2.2.1) относительно Т. Оператор Т позволяет нам объяснить, что такое группа . [c.100] Операции (п 0, п = О, п 0) образуют (мультипликативную) группу, так как удовлетворяют следующим аксиомам (каждая из операций при любом заданном п является элементом группы). [c.101] Иначе говоря, любые два элемента нашей группы коммутируют. Группы, любые два элемента которых коммутируют, называются абелевыми. Так как все элементы рассматриваемой нами группы — (положительные и отрицательные) степени оператора Т, мы называем Т генератором группы. [c.101] Полное зависяш,ее от времени решение (2.3.14) называется переходным к стационарному решению (2.3.16). Случай Я = О возвращает нас к уже рассмотренному решению (2.3.5). [c.105] В общем случае решение неоднородного уравнения (2.3.1) представимо в виде суммы частного решения неоднородного уравнения (в нашем примере — решения (2.3.16) и общего решения однородного уравнения (в нашем примере это ехр (М), где — произвольная постоянная). Значение постоянной можно фиксировать, например, задав начальное значение q (t). [c.105] Представим себе, что нас пока не интересует временная зависимость элементов матрицы Ь, т. е. будем считать их постоянными или равными значению, принимаемому при заданном 1. Рассмотрим квадратную матрицу I вида (2.4.4). [c.107] Максимальное число линейно независимых строк (или, что эквивалентно, столбцов) матрицы Ь называется рангом матрицы и обозначается Нк [Ь. Квадратная матрица Ь из п строк называется невырожденной, если Нк [Ц = п. [c.107] Приведенное выше утверждение о переходе от одного базиса к другому может быть сформулировано точно в виде следующей теоремы. [c.109] Теорема 2.4.1. Пусть Q (t) — невырожденная матрица решений, удовлетворяющих уравнению dQ/dt = L (t) Q. [c.109] Тогда множество всех невырожденных матриц решений образуют матрицы Q (О С, где С — любая невырожденная матрица п X п. При любом 6 и любой комплексной постоянной матрице Qo существует единственная матрица решений Q (t), такая, что Q ( о) = Qo- Множество вектор-решений q (t), q (t),. . . , q (t) уравнения dq/dt = = L (t) q образуют базис в пространстве решений в том и только в том случае, если они образуют столбцы матрицы, удовлетворяющей уравнению dQ/dt = L (t) Q и соответствующей невырожденной начальной матрице Qq. [c.109] В разд. 2.1 мы рассмотрели асимптотическое поведение решения дифференциального уравнения д — а 1) д. Это привело нас к понятию характеристического показателя и обобщенного характеристического показателя Я. Аналогичное утверждение справедливо и в общем случае — относительно системы (2.4.2). [c.110] Получающиеся при этом действительные числа кс называются обобщенными характеристическими показателями. Существует не более п различных обобщенных характеристических показателей. Дифференциальная система устойчива, если все Х( отрицательны. [c.110] Частным случаем обобщенных характеристических показателей являются показатели Ляпунова. [c.110] Вернуться к основной статье