ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость установившегося режима движения из "Колебания в инженерном деле " При этих значениях С и D выражения (d) удовлетворяют уравнениям движения (с) для любого значении времени. Мы видим, что выражения (d) представляют простое гармоническое движение обеих масс с угловой частотой а возмущающей силы, вызывающей движение. Однако амплитуды С и D зависят от приведенной амплитуды q возмущающей силы и от значения угловой частоты (о. [c.202] Отсюда видно, что медленно меняющаяся переменная возмущающая сила вызывает чисто статический эффект пружина сохраняет длину, и обе массы перемещаются вместе, причем их перемещение всегда равно статическому удлинению пружины под действием силы Qsinioi. [c.202] Сравнивая знаменатель выражений (f) с частотным уравнением (g) 31, мы заключаем, что амплитуды С к D становятся бесконечно большими при (ц—р или о)=Р2- Таким образом, для системы с двумя степенями свободы существуют два условия резонанса, соответствующих каждой из двух собственных частот свободных колебаний. [c.202] Рассмотрим, например, балку, поддерживающую мотор (рис. 145, а). Ее можно рассматривать как систему с одной степенью свободы мы знаем, что неуравновешенность ротора Q может вызвать значительные вынужденные колебания, если частота возмущения о окажется близкой к собственной частоте системы к /т . Чтобы предотвратить эти вынужденные колебания, прикрепим добавочную систему, показанную на рис. 145, б, и выберем 2 и / 2 так, чтобы Ук2/т = (й. Таким способом образуется система с двумя степенями свободы применив к ней данную выше общую теорию, заключаем, что колебания главной массы / 1 исчезают, а амплитуда колебаний дополнительной массы Дается формулой (к). Такая дополнительная система, прикрепленная к главной системе, называется динамическим гасителем колебаний. При проектировании гасителя выбирают такую пружину к , чтобы формула (к) дала приемлемое значение амплитуды О, и затем выбирают массу так, чтобы Ук гп2 = () . [c.204] В предшествующих рассуждениях рассматривалось только частное решение уравнения (с). Для получения общего решения на вынужденные колебания необходимо наложить свободные колебания, определяемые уравнениями (о) на стр. 189. Постоянные а, а следует затем выбрать так, чтобы удовлетворить заданным начальным условиям движения. [c.204] Во всех приведенных выше выкладках влияние демпфирования не учитывалось. Оно будет рассмотрено в следующем параграфе, в частности в связи с динамическим гасителем колебаний, представленным на рис. 145, 6. [c.204] Эти уравнения могут дать отличные от нуля значения С и О только в том случае, если равен нулю определитель системы, т. е. [c.207] Если имеется система с очень большим вязким сопротивлением, то возможно, что два или все четыре корня (h) становятся действительными и отрицательными. Полагая, например, что действительны последние два корня, найдем, как и в случае системы с одной степенью свободы (стр. 76), что соответствующее движение является апериодическим и что полное выражение для движения будет состоять из затухающих колебаний, наложенных на апериодическое движение. [c.209] Подставляя эти выражения в уравнения (к), получаем четыре алгебраических уравнения, определяющие постоянные j. С . [c.210] Из этого выражения можно вычислить амплитуды вынужденных колебаний груза для любых значений у = (о/Ро, если известны величины б и , определяющие частоту и вес гасителя, а также величина х. [c.210] На рис. 149 штриховыми линиями показаны резонансные кривые для р, = 0, дающие амплитуду колебаний для р=1/го 6=1 и различных значений у = ш//). Необходимо иметь в виду, что на рисунке даны абсолютные значения выражения (п ), тогда как сами эти выражения меняют знак при у = 0,895, =1 и 7=1,12. [c.211] Эта простая формула указывает надлежащий способ настройки гасителя. Если вес гасителя выбран, то значение р известно, и из формулы (75) мы найдем надлежащее значение б, которое определяет частоту и коэффициент жесткости гасителя. [c.213] Энергия, рассеиваемая за цикл вследствие действия сил сопротивления, пропорциональных относительной скорости, равна (см. стр. 83) яашЯ.2. [c.216] Так как ц и обычно малы, то определяемое из этого уравнения перемещение X будет в несколько раз больше, чем перемещение груза 1. Значения отношения Х/Х показаны на рис. 151 кривой 3. [c.216] Большие перемещения вызывают большие напряжения в пружине гасителя, и так как при колебаниях эти напряжения меняют знак, то большую важность приобретает вопрос достаточной надежности в отношении усталостного разрушения. Изложенная теория гасителя колебаний может быть применена также к случаю крутильных колебаний. Главной областью применения гасителей являются двигатели внутреннего сгорания. Применение гасителя с сухим трением в слу чае крутильных колебаний изложено в 42. [c.216] Во всех случаях этого рода важно знать, является ли данное установившееся состояние движения устойчивым или неустойчивым. Основной вопрос можно формулировать так если вызваны малые колебания относительно установившегося состояния, то будут ли они иметь тенденцию к исчезновению, так что восстановится установившееся состояние, или они будут нарастать со временем, так что установившийся процесс совершенно нарушится Для решения этого вопроса применяется следующий общий способ 1) предполагается, что вызвано малое отклонение от установившейся формы движения 2) исследуются результирующие колебания системы около установившегося движения, вызванные малым отклонением 3) если эти колебания, как в случае колебаний с вязким сопротивлением в предыдущем параграфе, имеют тенденцию к затуханию, то мы заключаем, что установившееся движение устойчиво в противном случае это движение неустойчиво. Таким образом, вопрос об устойчивости движения требует исследования малых колебаний около установившегося движения системы, возникающих вследствие предположенных произвольных отклонений или смещений от установившейся формы движения. Математически такое исследование приводит к системе линейных дифференциальных уравнений, подобных уравнениям (й) предыдущего параграфа, и решение вопроса об устойчивости или неустойчивости движения зависит от корней алгебраического уравнения, подобного уравнению (g), стр. 207. Если все корни имеют отрицательные действительные части, как было в случае, рассмотренном в предыдущем параграфе, то колебания, вызванные произвольным возмущением, будут затухать и, следовательно, рассматриваемое установившееся движение устойчиво. В противном случае установившееся движение неустойчиво. [c.217] Применим этот общий способ решения задач устойчивости к частным случаям. В качестве первого примера рассмотрим устойчивость вращения маятника относительно его вертикальной оси 00 (рис. 152). [c.218] Другими словами, предельная угло вая скорость есть скорость, при которой число оборотов в секунду маятника относительно вертикальной оси равно собственной частоте его поперечных колебаний ). [c.219] Как видим, один из корней положителен. Таким образом, угол а имеет тенденцию к возрастанию, и вращение неустойчиво. [c.219] Вернуться к основной статье