ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие теоремы из "Теоретическая механика Том 2 " Требуется узнать необходимые и достаточные условия для того, чтобы во время движения ребро АВ перемещалось параллельно своему начальному положению. [c.227] Рассмотреть однородную пластинку, представляющую собой половину круга радиуса 1 м. Допустить, кроме того, что в начальный момент пластинка неподвижна и образует с горизонтальной плоскостью угол 30 . Требуется при этих частных предположениях найти верхний и нижний пределы для времени, которое истечет от начального момента до того момента, когда пластинка сольется с горизонтальной плоскостью. [c.227] Более того, координаты х, у, z точки касания относительно осей Gxyz суть также известные функции 0 и 9. [c.228] Следовательно, положение тела зависит от пяти параметров 5, т). О, 9, ф. [c.228] После этого нужно использовать уравнения Эйлера для относительного движения вокруг точки G. Правые части L, М, N этих уравнений суть моменты реакции R относительно осей Gx, Gy, Gz. Проекции реакции R на эти оси равны R- , RY, Rf - Приложена реакция R в точке касания, имеющей координаты X, у, г. Следовательно, L, М, N имеют значения R(yY —- i ). R (z- — xY ), R ( / — yy) где все три скобки, на которые умножается R, являются известными функциями 0 и 9. Таким образом, получаются шесть уравнений для определения S, т], 0, 9, ф, / в функции времени. Горизонтальная проекция точки G совершает прямолинейное и равномерное движение. [c.228] Конус будет касаться плоскости вдоль образующей. Так как центр тяжести находится на оси конуса, то эту ось можно принять за ось Gz. Геометрия показывает, что I и 0 постоянны. Кроме того, А = В. Все реакции плоскости пересекают ось Gz конуса, поэтому г = г . Тогда теоремы момен-. тов и кинетической энергии показывают, что 9 и ф постоянны, и, следовательно, углы 9 и ф изменяются пропорционально времени. [c.228] Теперь А н В HQ равны. Можно получить четыре первых интеграла, прилагая теорему движения центра тяжести G, теорему кинетической энергии и теорему моментов относительно оси Gzi. [c.228] Движение системы зависит от семи параметров двух — для фиксирования положения центра сферы, трех — для фиксирования положения сферы вокруг своего центра и двух — для фиксирования положения движущейся точки на сфере. [c.229] Заметим прежде всего, что непосредственно известно движение сферы вокруг своего центра С, являющегося ее центром тяжести. Действительно, силы, действующие на сферу, рассматриваемую как изолированная система, суть вес, реакция плоскости и реакция движущейся точки. Все эти силы проходят через центр С. По обобщенной теореме о моментах количеств движения полный момент количеств движения относительно центра С будет, следовательно, постоянным и движение сферы вокруг своего центра будет равномерным вращением вокруг оси, проходящей через центр С и имеющей постоянное направление как относительно сферы, так и в пространстве. [c.229] После этого для окончательного определения движения достаточно будет четырех интегралов. Два интеграла вытекают из теоремы движения центра тяжести, показывающей, что горизонтальная проекция центра тяжести совер-щает прямолинейное и равно.мерное движение. [c.229] Отнесем теперь систему к трем осям постоянного направления с началом в точке g, которая является проекцией центра тяжести G систе.мы на горизонтальную плоскость, проходящую через центр сферы. Пусть эти оси будут gXi, gy , gz , причем ось gz- вертикальна. Для изучения движения относительно этих новых осей не нужно менять внещних сил, приложенных к системе, так как новый триэдр соверщает по отнощению к старому триэдру поступательное прямолинейное и равномерное движение. [c.229] Внешними силами, приложенными к шару, являются вес и реакция эллипсоида (нормальная к поверхности). Так как силы проходят через центр С шара, то движение шара вокруг этой точки является равномерным вращением вокруг оси, неподвижной в пространстве и в шаре. [c.229] Что касается движения центра тяжести С, то это —движение тяжелой точки по поверхности вращения, параллельной заданному эллипсоиду (п. 276). На основании теоремы кинетической энергии и теоремы моментов относительно оси Oz получим два первых интеграла, определяющих движение (Пен леве, там же, стр. 31). [c.229] Ось симметрии Ог является главной осью инерции для точки О. [c.230] Пусть Ох и Оу — две другие главные оси инерции для той же точки О, Ог — вертикаль точки О, Ох и Oyi — две неподвижные взаимно-перпендикулярные горизонтальные оси. О/ — пересечение плоскостей уОх и у Ох . [c.230] Центр тяжести G тела находится на оси Oz его координата z постоянна, и поэтому работа силы тяжести равна нулю. [c.230] Положение системы зависит от двух параметров одного, определяющего положение спицы, и другого, определяющего ориентацию тела вокруг этой прямой. [c.230] Теорема о кинетической энергии дает один первый интеграл. [c.230] Вернуться к основной статье