ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Геометрическое представление движения по Пуансо из "Теоретическая механика Том 2 " В работе, помещенной в т. XVI Journal de Liouville, Пуансо дал геометрическое представление движения, основанное на следующих теоремах кинематики, которые остаются справедливыми в любом случае движения твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.160] Рассмотрим эллипсоид инерции тела, построенный в неподвижной точке О и пусть Ох, Оу, Ог — главные оси инерции этого эллипсоида. В некоторый момент времени мгновенная ось вращения Ош пересекает поверхность эллипсоида в некоторой точке т, которую Пуансо называет полюсом. [c.160] Эта плоскость перпендикулярна к вектору Оа, проекции которого равны Ар, Bq и Сг. [c.161] Теорема III. Расстояние от неподвижной точки до плоскости, касательной к эллипсоиду инерции в полюсе, равно квадратному корню из удвоенной кинетической энергии, деленной на главный момент количеств движения. [c.161] В результате плоскость П, касательная в точке т, будет неподвижна, так как она имеет постоянное направление и находится на постоянном расстоянии от неподвижной точки О. [c.162] Так как точка эллипсоида, которая находится в соприкосновении с плоскостью П, имеет в каждый момент скорость, равную нулю, поскольку она находится на мгновенной оси, то можно также сказать, что движение получится, если заставить эллипсоид инерции катиться и вертеться (без скольжения) по неподвижной плоскости П. Положение этой неподвижной плоскости известно из начальных условий. [c.162] Можно еще иначе представить себе движение, допустив, что материально осуществлена поверхность катящегося конуса, ограниченная полодией образованное таким образом тело катится по плоскости П, и его следом является герполодия (рис. 228а). Так как полодия катится по герполодии без скольжения, то соответствующие дуги обеих кривых имеют одинаковые длины. [c.163] Это как раз те самые плоскости, с которыми мы встречались при аналитическом исследовании задачи. В этом случае полодии состоят из двух эллипсов е и е , пересекающихся на двух концах Ь и Ь средней оси. [c.164] Таким образом, полодия является пересечением эллипсоида инерции и конуса второго порядка, имеющего те же плоскости симметрии. Она состоит из двух различных замкнутых ветвей, симметричных друг к другу относительно центра и одной из главных плоскостей эллипсоида. Каждая ветвь имеет в качестве плоскостей симметрии две другие главные плоскости эллипсоида (рис. 229) и обладает четырьмя вершинами /, 2, /, 2, для которых радиус-вектор От, выходящий из центра, имеет максимум или минимум. При движении одна из ветвей полодии катится по неподвижной плоскости П. Эта ветвь — единственная используемая вторая ветвь катится по плоскости, симметричной к П относительно точки О. [c.164] Таким образом, имеются два вида полодий. Одни из них окружают вершины малой оси, а другие вершины большой оси. Эти два вида полодий разделяются особой полодией, соответствующей D — B и образованной двумя эллипсами в и е. Через каждую точку поверхности эллипсоида проходит одна и только одна полодия. Когда все эти кривые уже начерчены, то чтобы, узнать, какая полодия соответствует заданным начальным условиям, достаточно знать точку iHq, в которой ось начального мгновенного вращения пересекает эллипсоид. Искомой полодией будет та, которая проходит через m.Q. Что касается соответствующей неподвижной плоскости И. то это — плоскость, касающаяся в эллипсоида в его начальном положении. [c.165] Частные случаи. Если О —А или Д=С, то полодия и герполодия обратятся в точки. Эллипсоид будет вертеться, оставаясь в соприкосновении с плоскостью своей вершиной на большой или малой оси. [c.166] Но если тело начнет вначале вращаться вокруг средней оси, то бесконечно малое изменение начальных условий приведет полюс в положение /Ко, начиная от которого он будет описывать полодию, окружающую либо вершину а, либо вершину с. Тогда ось отклонится от своего первоначального положения на конечную величину вращение будет неустойчивое. [c.168] Эллипсы ее и е е (рис. 229) разделяют эллипсоид на четыре части две, содержащие вершины а и а, и две другие, содержащие вершины с и с. [c.168] Следуя замечанию Бура (Вонг), естественно принять за меру устойчивости вращения вокруг оси Оа отношение площади части, содержащей а, к половине площади эллипсоида инерции. Действительно, если начальные условия изменяются так, что полюс находится в этой части, то мгновенная ось описывает в теле конус вокруг своего первоначального положения Оа. Точно так же устойчивость вращения вокруг Ос измеряется площадью части, содержащей эту ось. Например, если эллипсоид очень близок к эллипсоиду вращения вокруг Оа, т. е. если А—В очень мало, то часть, содержащая а, будет очень мала, так что устойчивость вращения вокруг Оа будет слабой, так как маленькое смещение оси может вывести полюс из этой части и заставить вращаться вокруг Ос. [c.168] Если эллипсоид будет точно эллипсоидом вращения (продолговатые снаряды), то устойчивыми будут вращения только вокруг оси симметрии. В самом деле, если тело вращается вокруг одной из главных осей в плоскости экватора и если в каком-нибудь случае полюс т будет немного отклонен от этой плоскости, то он будет описывать на поверхности эллипсоида круг, параллельный экватору и почти совпадающий с ним. Следовательно, ось в теле сильно отклонится от своего первоначального положения. Интересно отметить, что в пространстве ось, напротив, останется очень близкой к своему первоначальному положению, так как длина От мало отличается от экваториального радиуса. [c.168] Если эллипсоид инерции является сферой, то все его оси будут одинаково устойчивыми или скорее безразличными, так как мгновенная ось, если она будет смещена со своего места в другое, снова станет неподвижной и в теле и в пространстве (см. Вонг, Dynamique, стр. 165). [c.168] Вернуться к основной статье