ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Упражнения из "Теоретическая механика Том 1 " Кривые, соединяющие две неподвижные точки А и В и обладающие тем свойством, что вариация действия равна нулю при переходе от одной из этих кривых к любой другой, бесконечно близкой и проходящей через те же точки, являются траекториями, которые фактически опишет материальная точка, начавшая движение из одной из этих неподвижных точек в таком направлении, что она приходит во вторую. [c.461] Можно также сказать, что если среди всех кривых, идущих от точки А к точке В, отыскивать кривые, для которых действие имеет минимум, то эти кривые среди траекторий, соединяющих точки А и В. Это следует из того, что для нахождения таких кривых нужно прежде всего приравнять нулю вариацию действия. [c.461] Это — уравнения движения свободной точки, причем уравнение (5) явл.чется уравнением кинетической энергии с частным значением /г. Таким образом, теорема доказана. [c.461] кривые, дающие для действия Л относительный минимум, т. е. значение, меньшее, чем вдоль всякой кривой, бесконечно близкой, нужно искать среди траекторий, идущих от А к В. Вопрос о том, дает ли найденная траектория, соединяющая две точки А к В, относительный. минимум для Л, в действительности не является суш.ественным с точки зрения самого принципа. Он аналогичен вопросу, дает ли в действительности геодезическая линия. [c.461] Не существует кривых, дающих для интегралов Л относительный мак-симу.м, так как если С есть произвольная дуга, проведенная между Д и В, то всегда можно построить бесконечно близкую кривую С, вдоль которой действие будет больше, чем вдоль С. Для этого достаточно взять в качестве С синусоидальную кривую с бесконечно малыми амплитудами, проходящую С. [c.462] Точка на поверхности. Пусть на неподвижной поверхности S дана точка, находящаяся под действием силы, имеющей силовую функцию U x,y,z). Для нее по-прежнему имеем интеграл кинетической энергии (1). Будем сравнивать между собой движения, которые совершаются на поверхности S при одном и том же значении постоянной h. Тогда имеем следующую теорему. [c.462] Кривые, проведенные на поверхности между двумя неподвижными точками А и В и обладаюи ие тем свойством, что вариация действия равна нулю при переходе от одной из этих кривых ко всякой другой бесконечно близкой кривой, проведенной на поверхности между темп же точками, являются траекториями движущейся точка, соединяющими эти две неподвижные точки. [c.462] Следовательно, если мы ищем кривые, идущие на поверхности от Д к В, вдоль которых действие имеет минимум, то их надо выбирать среди траекторий. [c.462] Если мы на минуту вернемся к случаю свободной точки, находящейся под действием силы, имеющей силовую функцию, то мы увидим, что на основании принципа наименьшего действия задача определения траекторий точки является распространением на случай трех переменных задачи о геодезических линиях. [c.462] Мы вернемся, однако, к этому принципу в аналитической механике. [c.463] Если потребовать, чтобы движение было плоским или происходило на поверхности, то формулировка, очевидно, останется той же, если заменить поверхности S и 5 кривыми. [c.463] Если и = О, то эти теоремы переходят в классические теоремы о параллельных поверхностях или параллельных кривых на поверхности. [c.463] Та же теорема имеет место и при движении точки на поверхности для траекторий, нормальных к неподвижной кривой. [c.463] Если 77 = О, то эти теоремы переходят в классические теоремы о развертках. [c.463] Доказать, что эта поверхность развертывается на поверхность вращения, и составить уравнение меридиана. Если положить 2h — 2gy = и, 2gx = v, то вновь получится упражнение п, 271. [c.464] Вернуться к основной статье