ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Матрица рассеяния при ядерных возмущениях из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Здесь мы обсудим реализацию ядерных операторов в виде интегральных в разложении гильбертова пространства в прямой интеграл. Излагаемые сведения понадобятся в следующем параграфе при изучении МР для ядерных возмущений. [c.299] При условии (9) множество -ул имеет нулевую меру. На квадрате ЛхЛ ядро а(//, и) можно задать равенством вида (1.6.17), т.е. [c.302] И (10) ряд (11) сходится на л X л по ядерной норме. Формула (11) справедлива и в случае, когда г/ и Ьп получаются при разложении в ряд (8) оператора РАР (а не А). [c.302] Подставляя сюда выражения (5) для операторов (- Со) и вновь придем к представлению(И) для ядра а(//,г/). [c.302] Этот интеграл также определяет ядро а(/2,1/) оператора А на множестве ЛхЛ. [c.303] Следующее утверждение является одним из вариантов равенства Парсеваля. [c.304] 1 выясняется, что при ядерных возмущениях для МР справедливы обычные стационарные представления 2.8. В п. 2 рассматриваются свойства МР, специфические для ядерных возмущений. Наконец, в п. 3 устанавливается непрерывная зависгмость МР от возмущения. [c.305] Соберем вместе полученные результаты. [c.306] Теорема . 1) При V Е для 5(A) справедливы оба пред-ставления (2.8.9) . [c.306] Соотношение (2) сохраняет силу и в предположении (6.4.2), если дополнительно известно, что сильный ВО W H, Но] J) существует. Если к тому же W (H, Но] J) изометричен, то в (2) г/ (А) = 7(А). [c.307] СледствиеЗ Пусть для любого ограниченного интервала Л оператор К о(Л) имеет конечный ранг г. Тогда для п.в. А G Л ранг 5(А) — г/ (А) не превосходит г. Так, в частности, будет, если сам оператор V конечномерен. [c.307] Теорема 4. В условиях теоремы 6.4.15 при п.в. А G то для 5(А) имеет место представление (5.7.3) и S(X) — 7(А) G i. [c.307] Напомним, что г/ (А)—оператор-функция, отвечающая оператору У = Но,Но ГЗ). [c.308] Представления (4) легко распространяются на случай, когда выполняются лишь условия локальной ядерности. Такое обобщение осуществляется вполне аналогично п. 1. Сформулируем лишь окончательный результат. [c.308] Если к тому же существует сильный ВО У Н, Но] 3), то в (5) г/ (А Л) можно заменить на и ). [c.309] Из теоремы 5 вытекают включения (2) . Кроме того, представления (4) , (5) можно использовать для эффективной оценки ядерной нормы оператора (2) . [c.309] При V 1 здесь можно считать А — то. [c.309] Мы сформулировали оценку (6) в условиях части 3) теоремы 5. Тем самым она справедлива и в условиях ее частей 1) и 2). [c.309] Отметим, что в (8) оператор [НJ — J H )Ehi A) можно заменить на Ен А) НJ - JiH )Eh A), если дополнительно потребовать существования ВО W H, Н J ). Кроме того, согласно (7) можно дать оценку интеграла вида (8) через (р[Н)] — Л (Я1) 1. [c.310] В специальном случае, когда семейство Я(7) зависит от параметра 7 линейно, соотношение вида (9) справедливо при всех 7 0. Локазательство такого утверждения требует совсем иной техники. По этому поводу см. п. 4 следующего параграфа. [c.310] Вернуться к основной статье