ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дальнейшие обобщения из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Замечание 2. Лля доказательства теоремы 1 достаточно предположить справедливость включения (2) в окрестности какой-либо точки z G p Hq)P р Н). Более того, и это условие можно заменить предположением (2) для z = z и всех натуральных р, больших какого-нибудь фиксированного числа р. Впрочем, при р = I в силу тождества (4.8) из выполнения (2) хотя бы для одной точки z следует справедливость (2) для всех Z G р Но) П р Н). [c.262] В конкретных применениях в качестве (/ (Л) берется часто одна из следующих функций 1) (р Х) = ехр(—Л), 2) (р Х) = (Л — если Яо и Я имеют общую регулярную точку а == а, а п нечетно (но, возможно, отрицательно), 3) у Х) (Л — а) , где а ф О—любое вещественное число, если операторы Яо,Я полуограничены, Но с1, Н с1 и а с. Второй и третий варианты, конечно, очень близки к теореме 1. [c.263] Теорема 5. Пусть 1/о V—унитарные операторы в гильбертовых пространствах Но и Н, 3 Но Н—ограниченный оператор и из - ЗЩ е 61. Тогда ВО и,ио]3) (и У ио,и]3 )) существуют и 3-полны (соответственно 3 -полны). [c.263] О Ломножая С/о и V на общий множитель, равный по модулю 1, можно добиться того, что 1 не будет собственным числом ни для одного из них. Тогда С/о и С/ окажутся преобразованиями Кэли (см. равенство (2.2.13)) самосопряженных операторов Но = г 1 4- С/о)(/ С/о) Я = 1 - - С/)(/ - С/) . [c.263] Замечание 6. В условиях теоремы 5 ВО для пары С/о, С/ и для их преобразований Кэли Яо,Я совпадают друг с другом, т.е. [c.264] Подчеркнем, что несмотря на формальную аналогию с теоремой 2.3 в терминах самосопряженных операторов теорема 5 отвечает случаю, когда ядерной является разность резольвент. [c.264] Вернемся к рассмотрению самосопряженных операторов. Определенный интерес представляют условия существования ВО, формулируемые в терминах унитарных групп С/о( ), С/( ), а не их генераторов Яо,Я. [c.264] Тогда ВО И (Я, Яо 7) (и ВО ] Но,Н] 3 )) существуют и 7-полны (соответственно ] -полны). [c.264] Теорема 8. Предположим, что оператор J Tio Ti имеет ограниченный обратный и JV (fo Ho)) = T f H)) для какой-либо пары функций, удовлетворяющих (4.10). Пусть при любом ограниченном интервале Л выполнены условия (4.2) и (2.1.9). Тогда ВО W H, Но] J) существуют, изометричны HaTi и полны, ш.е. R W H,Ho]J)) = Ti( Кроме того, существуют ВО W Ho, H]J ) и W Ho, Н] J ) эти ВО равны между собой, изометричны на Ti и полны. [c.265] Вернуться к основной статье