ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Матрица рассеяния из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Формульные представления для матрицы рассеяния даются в терминах ядер некоторых операторов, которые понимаются как интегральные (см. п. 3 1.5). При этом важно, что с помощью понятия слабой г. адкости можно приписать разумный смысл значениям ядер на диагонали. [c.212] С помощью отображения Z X) можно вычислить пределы (1.9). [c.213] Определения 2 и 1.5.2, разумеется, согласованы друг с другом. [c.214] Лемма 3. Пусть оператор А имеет вид (1), где оператор С—слабо Н-гладкий. Тогда оператор А является интегральным, а функция (б)—его ядром в смысле определения 1.5.2. [c.214] В условиях определения 2 для формы (А/,д) справедливо и представление (1.5.11) с переставленным порядком интегрирований. Поэтому и оператор А оказывается интегральным в смысле определения 1.5.2. [c.215] Напомним, что для любого интегрального (в смысле определения 1.5.2) оператора полуторалинейная форма его ядра восстанавливается равенством (1.5.13) при п.в. Е ха. Для операторов (1) это утверждение можно уточнить. [c.215] Приведем еще вариант леммы 4, отвечающий представлению (1.5.9). Напомним, что в терминах этого представления соотношение (1.5.13) принимает вид (1.5.14), где (Ф/ у)(А) = Хк( )у, У Хк = Хх — индикатор какого-либо ограниченного множества С к Установим предварительно утверждение, дополняющее лемму 1.6. [c.216] Л емма 5. Пусть оператор С—слабо Н-гладкий. Тогда при п.в. Л 6 Хщ оператор-функция СЕ Х)Т гп ()т 0 слабо дифференцируема. [c.216] Следующее утверждение получается из леммы 4 при Переходе к представлению (1.5.9). Оно распространяет равенство (1.5.14) на измеримый прямоугольник полной меры, который от выбора пары х,у не зависит. [c.216] Отметим, что этот более общий случай можно свести (ср. с замечанием 4.5.3) к случаю операторов вида (1). Для этого надо ввести новое вспомогательное пространство 0 ) = 0(g) и положить Gf = Gif, G2/. Gr/ . Оператор G оказывается слабо Я-гладким в силу леммы 1.5. [c.217] Предел здесь понимается как повторный, причем предельные переходы по е и г/ в (13) можно поменять местами. Оказывается, при небольших дополнительных предположениях повторный предел в (13) можно заменить на двойной. Кроме того, рассматривается случай операторов А, зависящих от дополнительного параметра. Соответствующие формулы выпишем для ядер Gij операторов Aij (см. (11), (12)). [c.217] Лемма 7. Предположим, что операторы Gi и Gj являются слабо Н-гладкими, а aij—ядро оператора Aij = G AijGj. [c.217] Эта лемма естественно распространяется на п.в. /2 Е М и п.в. 2/ Е М. При этом, как пояснялось в конце п. 1, обе части (15) и (16) равны нулю, если хотя бы одна из переменных или / не принадлежит а. [c.218] Этот параграф примыкает к 2.8. В п. 1 и 2 обосновываются соответственно представления для стационарных оператора и матрицы рассеяния, приведенные без доказательства в п. 1 и 2 2.8. [c.218] Поэтому соотношение (2.8.1) вытекает опять из леммы 2.7. Подчеркнем, однако, что (2.8.1) требует обоих условий (2.10) , тогда как в п. 2 2 условие (2.10) использовалось лишь со своим знаком . [c.218] Фактически интегралы (2.8.2), (2.8.6) берутся, конечно, лишь по множеству ПХ. [c.218] Л емма 2. Пусть оператор Со является слабо Но- ладким, а С—ограничен и выполнено условие (3.3). Тогда оператор СЗ—слабо Но-гладкий. [c.219] Теорема 3. Пусть на плотном в Tio множестве Мо справедливы оба условия (2.10)4., (2-10) , оператор Gq—слабо Но-гладкий, а опера пор G—ограничен и выполнено условие (3.3). Тогда для стационарной матрицы рассеяния при п.в. А G о имеют место оба представления (2.8.9) , (3) . [c.220] Согласно теореме 3.6 в условиях теоремы 3 существуют сильные нестационарные ВО, совпадающие со стационарными. [c.220] Лля доказательства (7) остается воспользоваться леммой 1.5.1. [c.222] Вернуться к основной статье