ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Абсолютно непрерывный и точечный спектры оператора из "Математическая теория рассеяния Общая теория " В применениях, как правило, непосредственно удается проверить гладкость лишь относительно невозмущенного оператора Но. Это затрудняет использование результатов предыдущего параграфа. Здесь мы изложим стационарный метод проверки Я-гладкости, основанный по существу на теории возмущений. Этот метод позволяет свести доказательство существования и полноты ВО к проверке некоторых свойств возмущения по отношению к одному оператору Яо. В связи с этим теперь несколько меняется идеология изложения. Полный гамильтониан Я уже не считается заданным заранее, а его корректное определение как самосопряженного оператора является следствием предположений о возмущении. Мы ограничиваемся рассмотрением случая Но = 7 , 7 = /. Обобщение на случай пары пространств возможно, но требует обратимости 7. [c.182] Исследование относительно компактных возмущений V предваряется изучением существенно более простого случая малых операторов V. Рассмотрения в этом параграфе носят локальный характер. Это позволяет найти и условие существования, и условие полноты ВО в целом . [c.182] При дополнительных предположениях, требуемых далее, для 1тг ф О существуют операторы (1.9.18). Поэтому по теореме 1.10.3 существует (и, конечно, единственен) самосопряженный оператор Я, отвечающий сумме Яо Н-в смысле определения 1.9.2. Для резольвенты Щг) этого оператора справедливо соотношение (1.9.8), так что оператор С заведомо будет Я-ограниченным и, кроме того, произведение СК г)С корректно определено. [c.183] При построении теории рассеяния для пары Яо,Я мы считаем в этом параграфе, что ] — 1, но рассматриваем локальные ВО И (Я,Яо Л), связанные с произвольным интервалом Л С М. Напомним (см. п.З 2.3), что при ] — [ полнота ВО 1У (Я, Яо Л) эквивалентна существованию обратного ВО Ж (Яо,Я Л). Поэтому из устанавливаемого далее существования ВО У Н, Но] А) и 1Ф (Яо,Я Л) следует полнота всех этих ВО. Существование ВО достаточно проверять на системе интервалов Л , объединение которых исчерпывает Л с точностью до множества нулевой меры. [c.183] Рассмотрим сначала случай малых возмущений. [c.183] Теорема 4. Предположим, что оператор Но имеет на интервале Л лишь абсолютно непрерывный спектр постоянной кратности. Пусть операторы Со и С—усиленно Но гладкие (с какими-либо показателями ао О и а 0) на любом компактном подынтервале А, а оператор СоНо )С У компактен при 1тг ф О и каком-либо натуральном I. Тогда ВО 1У (Я, Яо Л) существуют и полны. [c.185] Напомним, что в соответствии с принятым в начале параграфа соглашением здесь предполагается и выполнение условий (1.9.6) и (1.9.7). Предположение о компактности оператора СоНо )С У можно по-прежнему заменить условиями, сформулированными в замечании 3. [c.185] Из теоремы 4 вытекают условия существования и полноты ВО в целом . [c.185] Предположим опять, что оператор СоНо )С У компактен при 1тг ф О и каком-либо натуральном I. Тогда ВО Н, Но) существуют и полны. [c.185] Как выяснено в п. 3 предыдущего параграфа, в условиях теорем 1—5 справедлив ПИ. Кроме того, в 7.3 и 7.4 будет установлено, что в этих предположениях выполняются все стационарные представления 2.7 и 2.8. Там же обсуждаются свойства матрицы рассеяния. [c.186] В этом параграфе приводятся достаточные условия отсутствия в спектре полного гамильтониана сингулярной непрерывной компоненты. Те же условия дают жесткие ограничения на структуру точечного спектра. [c.186] Теорема 1. Пусть выполнены условия теоремы 6.1 и N(G) = 0 . Тогда спектр оператора Н на к абсолютно непре-рывен. [c.186] Выделим еще полученные в предыдущем параграфе сведения об оператор-функции B(z) = GR z)G. [c.187] Теперь множество М можно рассмотреть по схеме, изложенной в 1. Установим прежде всего аналог леммы 1.3. [c.188] Л е м м а 6. Пусть в дополнение к условиям леммы 5 оператор-функция Go o(0 o прерывно дифференцируема (в слабом смысле) по X А. Тогда оба уравнения (1) имеют решения одновременно, и эти решения совпадают. [c.188] Лемма 7. Пусть V — С Со = С Со. Предположим, что оператор-функции Во г) = СоКо г)С, 0(2) = —СоКо г)С, а также СоКо 2)С и СоКо г)С непрерывны по норме вплоть до разреза по А. Тогда отвечающие Во и Во множества М и М совпадают между собой. [c.189] Лемма 8. Пусть выполнены условия теоремы 6.4 и а 1/2. ТогдаЛ[ = а(Р Н)ПА. При этом кратности собственного числа А Е Л оператора Я и собственного числа 1 оператора В гО) совпадают. [c.189] Теперь в силу соотношения (1.9.10) равенство (6) можно переписать в виде ф, (Я — Х)Н) = 0. Для самосопряженного оператора Я отсюда вытекает, что ф Е Т (Н) и Нф = Хф. Кроме того, ф ф О, так как согласно (1) / = —Соф. Это доказывает включение Х С сг Н) П Л. [c.190] Теорема 9. Пусть выполнены условие теоремы 6.4, N(0) = О а 1/2. Тогда на интервале А оператор Я не имеет сингулярного непрерывного спектра. [c.190] Вернуться к основной статье