ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гладкость по Като из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Напомним еще, что оператор Й(А, ) я(А, ) определяется соотношением (1.4.5). [c.164] Понятие гладкос ли по Като вводится в унитарно-инвариантных терминах и допускает несколько эквивалентных формулировок. Определению этого понятия предпошлем следующее утверждение. [c.164] Все постоянные yj = 7j G), j = 1. 5, равны друг другу. [c.164] В правой части первый сомножитель не превосходит 74, а интеграл равен 11/1Р согласно (1.4.6). Отсюда следует, что 73 74. [c.165] Определение 2. Если С—Н-ограничен и выполняется одно из неравенств (1)—(5) (а тогда и все эти неравенства), то оператор О называется гладким по Като относительно оператора Н (Н-гладким). Общее значение величин 71.75 будем обозначать через ун С). Гладкость по Като мы называем, как правило, просто гладкостью. [c.166] Сделаем еще два замечания по поводу определения Я-гладкости. [c.166] Складывая оценки для знаков Н- и —, найдем, что правая часть (10) не превосходит величины (1). Это доказывает равенство (10).. [c.168] Отметим еще, что класс Я-гладких операторов инвариантен относительно умножения слева на ограниченные операторы. Это вытекает из любого из условий (1)—(5). Кроме того, в силу (5) этот класс инвариантен и относительно умножения справа на ограниченные операторы, коммутирующие с ( ). [c.168] что понятие Я-гладкости формулируется как в нестационарных (1), так и в стационарных (2) — (5) терминах. В 5 мы увидим, что первое из этих определений очень удобно для проверки существования ВО (2.1.1). Напротив, саму Я-гладкость, как правило, приходится проверять в стационарных терминах. [c.168] Гладкий относительно Я оператор О априорно предполагается Я-ограниченным. Это утверждение можно уточнить. [c.168] Согласно определению (2) вектор-функция GR z)f принадлежит в верхней и нижней полуплоскостях соответствующим классам Харди Я .(0). На вектор-функции обобщается (см. [c.169] Поэтому для слабого предела также оправдывается неравенство (15). [c.170] Проиллюстрируем понятие относительной гладкости на примере оператора умножения Н. В этом случае естественный класс Я-гладких операторов образуется интегральными операторами. [c.170] Определение 9. Оператор С называется Н-гладким па борелевском множестве А, если оператор СЕ А) является Я-гладким. [c.170] Тогда оператор О является Н-гладким на замыкании Л множества Л. [c.171] О В силу непрерывности ОК Х - - ге) по Д при е О неравенство (18) распространяется на все Л, т.е. [c.171] Вернуться к основной статье