ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Возмущение граничным условием из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Рассмотрим сейчас пример, в котором возмущение состоит в изменении граничного условия у дифференциального оператора В нем ВО, оператор и матрица рассеяния могут быть вычислены явно. Вместе с тем мы увидим, что даже в этом простом примере построение рассеяния оказывается связанным с содержательными вопросами теории функций. [c.125] Поэтому подынтегральная функция в (2.5.1) убывает как при 1 1 со, и, следовательно, ВО Н, Но] 3) существуют на основании теоремы 2.5.1. [c.127] Это ядро очевидно принадлежит Ь2(М+ хН+), а потому сам оператор принадлежит классу Гильберта—Шмидта 62- Отсюда вытекает компактность оператора (5), что завершает проверку существования ВО Н, Но). [c.127] Формула (7) может быть получена из приведенного в т. 2 курса 21] явного выражения для решения уравнения теплопроводности. Лля этого надо лишь провести замену t на it. [c.128] Решая это дифференциальное уравнение относительно Р, получим соотношение (8). Приведенные рассуждения требуют, чтобы функции / и К были достаточно гладкими и быстро убывающими при х — оо. Относительно начального данного / это можно предположить. Тогда при а и функция F, определяемая равенством (8), тоже гладкая и быстро убывает. При а О быстрое убывание Р обеспечивается соотношением (9), справедливым для (/,V a) = 0. [c.129] Поэтому существование Н Но) эквивалентно тому, что образ оператора (21) совпадает с И, а это, в свою очередь, равносильно (17). [c.132] Подставим сюда определение (19) и домножим (23) на (а — р) слева и на справа. Очевидно, что в получившемся равенстве члены нулевой степени и квадратичные по р обратятся в нуль. Для завершения доказательства (23) остается показать, что и сумма линейных по р членов равна нулю, т.е. [c.132] Аналогичным образом, ядро оператора П+П1 равно 27г t(p- -р ) . Отсюда выводится, что ядро оператора в левой части (24) тождественно равно нулю. [c.132] Лемма 1. Пусть ВО У Я, Яо] J) существует. Тогда подпространства R W ) и взаимно ортогональны. [c.133] Определение 3. Оператор Н, Но, 3) называется 7-полным, если в (3) имеет место равенство, т.е. Я У ) = 05+. [c.134] Подчеркнем, что при условии 7-полноты ВО / [Н, Но] 3) замыкание его образа описывается в не зависящих от Но терминах. [c.134] При выполнении (2.1.8) вспомогательную тройку Яо,Яо,7 7 рассматривать не нужно. [c.134] Это утверждение естественно сравнить со следствием 2.3.10. При этом надо иметь в виду, что при условиях (2.1.8) и (2.3.9) определения J-полноты и полноты совпадают. [c.135] Понятие J-полноты и связанные с ним утверждения сохраняются для абелевых ВО 21 (Я, Яо J), если предельный переход в (1) также понимать по Абелю. [c.135] Лемма 6. Пусть нуль не является точкой существенного спектра неотрицательного оператора J J. Тогда равенство (4) выполняется для любого самосопряженного оператора Я. [c.135] Сопоставляя теорему 4 с леммой 6, получим Следствие 7 Пусть J удовлетворяет условию еммы 6. Тогда из существования ВО W H, Но, J) и W Ho, Н, J ) вытекает равенство (2.3.3). [c.135] Вернуться к основной статье