ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Унитарные операторы. Теория возмущений из "Математическая теория рассеяния Общая теория " На унитарный случай более или менее автоматически переносятся все положения самосопряженной теории. Соберем здесь нужные нам результаты. [c.81] Это соотношение, конечно, аналогично (4.11). [c.82] Локазательство теоремы Вейля об инвариантности существенного спектра в унитарном случае ничем не отличается от самосопряженного. [c.83] Следствие 2. Если оператор U унитарен и [/ — / G воо, то его спектр состоит из собственных чисел, накапливающихся разве лишь к точке 1. Отличные от 1 собственные числа конечнократны. [c.83] В самосопряженном случае собственные значения могут сдвигаться не более, чем на норму возмущения. Обсудим соответствующие результаты для унитарного случая. Теперь роль спектральной точки О 6 М играет точка 1 G Т, роль сдвига по М—поворот на Т, а роль самосопряженных операторов с малой нормой—унитарные операторы, спектр которых лежит на малой дуге с центром в точке 1. Через (/ii,/i2) и [/xi,/i2], где Hj = 1, обозначаются соответственно открытая и замкнутая дуги Т, заметаемые при движении из /л в /Л2 в положительном направлении (против часовой стрелки). [c.83] Сравнив (11) и (12), получим, что / = 0. Это доказывает (10) в симметричном с учае. [c.84] Следующее утверждение дает условия того, что части спектра оператора U на дуге [го/ii, и вне ее отделены друг от друга на положительное расстояние. [c.85] Тогда на дугах (ri/i2) t-q/ii) и (го/Х2, T2/ii) нет точек спектра оператора и = MUq. [c.85] Мы применяем предложение 5 в частном случае, когда одно из чисел /XI или /Л2 равно единице. Такой оператор М играет роль знакоопределенного возмущения для самосопряженного случая. [c.85] Следствие 6. Пусть tq—изолированное собственное число оператора Uq, отделенное от остального спектра Uq на расстояние d,d Е (0,2]. Предположим, что сг(М) С [1,/х] (или сг(М) С [//, 1]), где Im/i О и l/i — 1 ii. Тогда при некотором О на дуге (гое ,го) (соответственно на дуге (го,гое )) нет спектра оператора U. [c.85] Вместе с предложением 3 следствие 6 показывает, что для знакоопределенных возмущений собственные числа вращаются в направлении возмущения. [c.85] О Аналогично доказательству предложения 3 дело сводится К рассмотрению случая центрированных дуг, когда Ц1 — х, /Х2 = /X, 1т/х О, Т1 —г, Т2 = г, 1тг 0. Лля этого нужно лишь перейти к новым операторам М = р оМ, ио = го[/о, где //о и Го—середины дуг / 1,122) и (г1,Г2) соответственно. [c.86] Вернуться к основной статье