ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Условия самосопряженности из "Математическая теория рассеяния Общая теория " При изучении резольвенты полного гамильтониана Н — Но -У с помощью резольвенты Ко г) невозмущенного оператора Но естественно и условие самосопряженности Н формулировать в терминах Ко г). Здесь мы покажем, что при условии существования и ограниченности оператора (9.18) найдется самосопряженный оператор Н, удовлетворяющий определению 9.2. [c.74] По условию (9.6) к этому равенству можно применить оператор Со. Тогда для д = СоКо/ и Во = Во г) из (3) вытекает, что д 4- Во 1 — Во) д = I Во) д = 0. Следовательно, = 0. Возвращаясь к (3), найдем, что Яо/ = О, а потому и / = 0. [c.75] Теорема 3. Пусть выполнены условия (9.6) и (9.7). Предположим, что для каких-либо двух точек г , 1т О (или одной вещественной точки = р Но), если она найдется) существует и ограничен оператор (9.18). Тогда существует самосопряженный оператор Н, удовлетворяющий условиям определения 9.2. [c.77] Разумеется, в условиях теоремы 3 оператор Я определяется равенством Я = Я , где Я строятся по формулам (2), (4). Подчеркнем, что существования оператора (9.18) лишь в одной точке 2 с 1т 2 О недостаточно для самосопряженности соответствующего оператора Я = Я . В этом легко убедиться, рассматривая симметричный оператор Я, у которого только один из индексов дефекта равен нулю. [c.77] Тогда существует самосопряженный оператор Н, удовлетворяющий определению 9.2. [c.77] Тогда существует самосопряженный оператор Н, удовлетворяющий определению 9.2. [c.78] О Согласно лемме 5 оператор-функция (1) удовлетворяет на множестве ро (или двух его связных компонентах) условиям теоремы 8.2. Поэтому соответствующее множество особых точек 91 дискретно. В силу равенства (9.19) отсюда следует, что спектр Н в ро может состоять только из собственных чисел, накапливающихся разве лишь к точкам из а Но). Кроме того, по теореме 8.2 особенности оператора (9.15) в особых точках имеют характер полюсов с конечномерными вычетами. Это означает, что собственные значения Н конечнократны и, следовательно, сг( (Я) С т (Яо). [c.78] Если условия теоремы 3 справедливы при о = 1/2 и оба оператора Яо, Я полуограничены снизу, то обязательно Х ( Я / ) = Х ( Яо ). Отметим, однако, что при Яо с О из существования оператора (9.18) для какого-либо 2 О еще не следует, что и оператор Я полуограничен снизу. Так, например, при Я = -Яо и G = Я , Со == -2Я , оператор (9.18) в точке г = О существует (и равен —/). В то же время оператор Я не ограничен снизу, если Яо не ограничен сверху. Возможен и случай, когда при полуограниченном Яо оператор Я не ограничен с обеих сторон. [c.79] Теорема 3 позволяет указать условия самосопряженности Я, основанные на знаке возмущения. [c.79] Предложение 8. Пусть Яо О li для Gq — G при во = = 1/2 выполняется (9.6). Тогда существует оператор Я О, удовлетворяющий условиям определения 9.2. [c.80] Т [к] — Х (Я ) и, следовательно, ей отвечает самосопряженный оператор, принимаемый за Н 61. [c.80] ДЛЯ какого-либо 7 1. Тогда существует полуограниченный снизу оператор Я, удовлетворяющий определению 9.2. [c.81] Оценка (13) похожа, конечно, на условие (5) для / = 1 и = 2- О, но формулируется несколько в иных терминах. [c.81] В отличие от предложения 8 метод Фридрихса позволяет рассматривать неотрицательные возмущения оператора Яо О без каких бы то ни было условий по/1чиненности. В общем случае справедливо лишь включение 1 (Я / ) С Т (яУ ), тогда как в условиях предложения 8 эти области определения совпадают. [c.81] Вернуться к основной статье