ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Абсолютно непрерывный и сингулярный спектры из "Математическая теория рассеяния Общая теория " Лемма 2. Пусть один из элементов / или д абсолютно непрерывен (сингулярен), а второй произволен. Тогда комплексная мера гп - /,д) = (Е )/,д) абсолютно непрерывна (сингулярна). [c.35] Напомним, что подпространство И гильбертова пространства Н называется приводящим для самосопряженного оператора Я, если оно (а тогда и HOHi) инвариантно относительно спектральной меры оператора Н. Ясно, что вместе с Hi его ортогональное дополнение также приводит Я. [c.36] Пусть еще —подпространство, образуемое собственными векторами оператора Я. Спектр а Н) части Я в совпадает с замыканием множества собственных значений оператора Я и называется точечным. Ясно, что С Часть Я в 7 (р) называется сингулярно непрерывной, а ее спектр обозначается через сг Н). При / G мера т ] f) непрерывна, но сингулярна. [c.37] Будем говорить, что на борелевском множестве X спектр Я абсолютно непрерывен, если оператор Е(Х)Н в пространстве Е Х)Н абсолютно непрерывен. Аналогичное соглашение применяется и по отношению к другим свойствам оператора Я. [c.37] Теперь нетрудно установить следующее элементарное утверждение. [c.37] Определение 8. Каждый из принадлежащих сг Н) минимальных борелевских носителей спектральной меры Е будем называть сердцевиной спектра оператора Я. Сердцевина спектра обозначается через т(Я). [c.38] Минимальный БН можно ввести и для абсолютно непрерывной части Е = Р Е спектральной меры Я. В этом случае он, естественно, называется сердцевиной абсолютно непрерывного спектра. Впрочем, = будет минимальным БН и для спектральной меры Е Поэтому для нужд теории рассеяния достаточно понятия сердцевины спектра. [c.38] Рассмотрим теперь два оператора умножения. [c.39] Лемма 10. Пусть —оператор умножения на независимую переменную в 7ij = Ь2 Ш dmj), j = 1,2. Тогда содержит часть, унитарно эквивалентную Н2, если мера гп2 абсолютно непрерывна относительно гп1. В частности, Я1 и Н2 унитарно эквивалентны, если гпх и тп2 имеют общий тип. [c.39] Выражение при п.в. X Е X всюду означает, что множество X полной в X меры, на котором выполнено обсуждаемое отношение, может зависеть от всех входящих в формулировку параметров. В противном случае используется термин при п.в. X Е X независимо от. ... —с указанием параметров, 01 которых X не зависит. [c.40] Теперь нужно лишь учесть, что производная этой меры должна быть равна подынтегральному выражению. [c.41] Вернуться к основной статье