ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные обозначения из "Математическая теория рассеяния Общая теория " БН—борелевский носитель ВО—волновой оператор МР—матрица рассеяния ОВ—определитель возмущения п.в.—почти везде ПИ— принцип инвариантности ФСС—функция спектрального сдвига. [c.9] Обсудим необходимые условия справедливости соотношения (B.2) . Если / является собственным вектором оператора Я, Я/ = Л/, то u t) = exp —iXt)f и зависимость решения уравнения (В.1) от времени тривиальна. Однако из-за того, что собственные числа сдвигаются при сколь угодно слабых возмущениях, невозмущенная задача, вообще говоря, не имеет решений с таким же поведением при t со. Аналогично нельзя ожидать выполнения соотношения (B.2) при / из сингулярного непрерывного подпространства оператора Я. Впрочем, типичным для обсуждаемых в теории рассеяния случаев является отсутствие сингулярного непрерывного спектра у обоих операторов. [c.13] ВО операторы Н и Hq унитарно эквивалентны друг другу. Подчеркнем, что в рамках теории рассеяния изучается не любая унитарная эквивалентность, а лишь каноническая , реализуемая ВО. [c.14] Часто возникает необходимость в обобщении теории на случай операторов Но и Н, действующих в разных пространствах Tio и 7I. Такое обобщение требует отождествления J, переводящего Tio в 7I. Основные определения теории рассеяния для пары пространств в существенном аналогичны случаю одного пространства, но различные объекты теории (например, ВО) строятся теперь по тройке Яо, Я, J. Иногда оператор J не фиксируется постановкой задачи и его целесообразно подбирать в зависимости от свойств пары Яо,Я. Введение оператора J ф I зачастую бывает полезным и при рассмотрении операторов, действующих в одном пространстве. В этом случае J должен быть удовлетворительным приближением к ВО. Описанная схема с J — I относится к классу задач, когда таким приближением может служить единичный оператор. [c.14] Отсюда следует полнота построенных ВО. [c.16] В намеченной схеме рассуждений доказательству существования и полноты ВО предшествовало исследование не зависящей от времени (стационарной) задачи (В.4), (В.5). Такой подход называется в теории рассеяния стационарным. Одно из его преимуществ состоит в получении попутно явных выражений для ВО и матрицы рассеяния. Отметим еще, что построение волновых функций ф х]и) Х) и изучение их свойств удобно проводить с помощью резольвенты оператора Н. [c.17] Для построения стационарного варианта теории рассеяния нужно, чтобы существовали (в подходящей топологии) пределы Ко(г) и К г) при г = X е и е 0. Такое утверждение называется часто принципом предельного поглощения. Для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами Но этот принцип МО кно проверить непосредственно. Однако аналогичное исследование для полного гамильтониана Я (например, для оператора Шредингера) оказывается содержательной задачей. Один из способов ее решения (см. 4.6) состоит в изучении уравнения для 7 (г) и использовании принципа предельного поглощения для Яо. Отметим, что описанная в предыдущем разделе стационарная схема построения теории рассеяния для оператора Шредингера основана на использовании гладкого подхода. [c.18] Существует несколько различных вариантов понимания гладкости возмущения. Удобное унитарно-инвариантное условие на поведение резольвенты в окрестности спектра формулируется в терминах так называемой гладкости по Като (см. 4.3). Это понятие может быть эквивалентным образом переформулировано через соответствующую унитарную группу. Благодаря этому в теории таких возмущений стационарный и нестационарный варианты по существу сливаются. [c.18] В настоящее время вопрос о содержательном объединении гладкого и ядерного подходов остается открытым. Впрочем, такое объединение, по-видимому, не может быть слишком далеко продвинутым . Во всяком случае существование ВО Н, Яо) при произвольной ограниченной функции до и любом а 1 представляется при б 1 сомнительным. Если (I — то существование и полнота ВО Н, Яо) проверяются ядерным методом. Для него структура спектра невозмущенного оператора Яо совершенно несущественна. В связи с этим отметим, что, как показано в [56], для почти всех ограниченных до операторы Яо и гют чисто точечные спектры. Из существования и полноты ВО вытекает, что этот результат обладает определенной устойчивостью. Именно, абсолютно непрерывная компонента отсутствует и в спектре оператора Я. [c.20] До некоторой степени гладкая и ядерная теории объединяются в рамках общей стационарной схемы (см. гл. 5), называемой также аксиоматической) теорией рассеяния. В этой теории существование нужных пределов резольвент Ro z) и К х) предполагается, хотя пределы и понимаются в весьма слабом смысле. При этом предположении получаются формулы для стационарных волновых операторов, изучаются их свойства, устанавливается связь с нестационарными определениями. Таким образом общая схема позволяет избежать дублирования однотипных рассуждений в различных конкретных ситуациях. Само существование пределов резольвент в разной аналитической обстановке может проверяться (и пониматься) по-разному. [c.20] Мы довольно подробно обсуждаем свойства матрицы рассеяния в зависимости от предположений относительно возмущения. В применении к дифференциальным операторам содержательна и задача о восстановлении возмущения по матрице рассеяния. Эта задача называется обратной. В настоящей книге она не рассматривается. [c.21] Вернуться к основной статье