ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Поведение на малых расстояниях из "Метод возмущений в аксиоматической теории поля " Вернемся к вопросу о произволе в решении уравнения (3.9) для функции Го- При обсуждении теоремы 4.1 мы говорили, что выбор функции Г1 фиксирует взаимодействие. Это утверждение пока не представляется слишком содержательным, поскольку неопределенности вида (4.3) возникают в любом порядке о. Чтобы избавиться от них хотя бы отчасти, следует наложить на функцию г а дополнительное условие. В качестве такового мы рассмотрим естественное предположение о поведении на малых расстояниях ). [c.64] Это отображение на также линейно и непрерывно. Семейство обобщенных функций Тх., порожденное Т 6 5 непрерывно зависит от А, в пределах О А, °о. [c.64] Эта формула, по-видимому, показывает, что предел оо для Тх определяется поведением фурье-образа Т при больших значениях его аргументов. Заметим, что подобное очевидное заключение может оказаться обманчивым поведение фурье-образа Т = при очень сильно зависит от порядка производной О, несмотря на то, что все фурье-образы Т при больших да, обращаются в нуль. Докажем следующую лемму. [c.65] Значение d, определяемое леммой 5.1, назовем масштабной степенью ), или короче s-степенью обобщенной функции Т. Сокращенно мы будем обозначать се SD T). [c.66] Мы предпочитаем это название термину размерность , который приобрел популярность для обозначения данной величины в другом контексте. Мы считаем, что за термином размерность следует сохранить его освещенный временем смысл, фиксирующий положение функции Т в специальной системе единиц. [c.66] ОТ б-функции О порядка 1 О имеет 5-степень —I — О . [c.67] Теперь мы можем сформулировать обещанное выше дополнительное условие на функцию г . Потребуем, чтобы решение г а уравнения (3.9) для а 2 всегда выбиралось максимальной возможной з-степени. С точки зрения приведенных выше примеров это означает, что мы требуем столь гладкого поведения решения на малых расстояниях, сколь это только возможно. Такое условие выглядит естественным и часто используется в аналогичной форме и вне теории возмущений ). [c.67] например, определение индекса роста в работе [38 ] или требование минимальной сингулярности Файнберга [40 ].— Прим. перев. [c.67] Пусть Iа х. У, х ,. . ., Хп) имеет 5-стенень й и удовлетворяет условиям а — д теоремы 4.2. Тогда существует решение уравнения (3.9), имеющее 5-степень й и удовлетворяющее условиям А и Б теоремы 2.1. Решений г о с 5-степенью больше й не существует. [c.68] Вторая часть теоремы 5.2 очевидна ввиду четвертого из приведенных выше примеров. Из условия 8В (го) й следует, что (/д) а это находится в противоречии с исходным предположением теоремы. [c.68] Доказательство существования решения с 5-степенью (1 несколько более сложно. Мы воспользуемся здесь понятиями и обозначениями гл. 4. [c.68] Пусть г а — решение, построенное так, как это делалось в гл. 4, но не обязательно имеющее желаемую s-степень. На пространстве имеем = г а. [c.69] Мы получили решение, отвечающее требованию максимальности 50 га). Если с/ Ап, то это решение все еще не единственное, но содержит неопределенность, связанную с выбором функции Га при О 1 — 4п — с/. Это эквивалентно возможности добавить к ответу произвольное однородное решение вида (4.3) с 0 —(1 — Ап. Такие однородные члены имеют 5-степень — О — Ап й, поэтому их добавление не уменьшает 5-степени функции г . Получаемая неопределенность не специфична для развиваемого здесь формализма. Она проявляется и в каноническом формализме в виде неопределенности в коэффициентах контрчленов, необходимых для уничтожения бесконечностей. В гл. 8 мы покажем, что на самом деле для так называемых перенормируемых теорий никаких иных неопределенностей, кроме известных из канонического формализма, в аксиоматической теории возмущений не возникает. [c.73] Вернуться к основной статье