ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движения под действием силы, зависящей только от скорости из "Теоретическая механика Том 1 " Примем точку О (рис. 132) за начало, а за ось — прямую ОМо, которая будет траекторией. В качестве положительного направления примем ОМо, где Мц — начальное положение точки, и обозначим через По начальную скорость. [c.284] Следовательно, х изменяется от — а до + а, т. е. амплитуда равна а. [c.285] В этом случае время, необходимое точке для достижения положения О, равно четверти периода Т, т. е. тс/2Л. Оно не зависит от х . Этот результат выражают, говоря, что движение является таутохронным. [c.285] В этом случае точка неограниченно приближается к отталкивающему центру, никогда его не достигая, так как при неограниченном возрастании времени абсцисса х стремится к нулю. [c.286] Применение теоремы кинетической энергии. Можно применить другой метод исследования и интегрирования. [c.286] Умножим обе части уравнения движения на 2- - и проинтегрируем. [c.286] Допустим сначала, что Оо 0. Тогда точка будет все время удаляться от отталкивающего центра и ее скорость будет неограниченно возрастать вместе с х. [c.286] Если О, то по мере того, как х возрастает, скорость V убывает, но остается все время больще чем У Л следовательно, точка будет неограниченно удаляться и так как при этом ее скорость стремится к У к, то через некоторое время движение можно рассматривать как равномерное. [c.287] Если Л = О, то движущаяся точка обязательно достигнет любого положения на прямой, как бы удалено оно ни было, так как между точкой Л4о и произвольной точкой Р с абсциссой р скорость больще чем У 2к 1р из этого следует, что движущаяся точка неограниченно удаляется со скоростью, стремящейся к нулю. [c.287] Если положить — к = и , то задача сведется к интегрированию рациональной дроби. [c.288] В этом выражении определенный интеграл является эйлеровым интегра-лом В д Отсюда ясно, что единственным значением п, при котором Т не зависит от аго является п = 1 (пример 2). [c.288] Допустим для определенности, что / х) является рациональной дробью. Знак перед корнем в начале движения определяется направлением, в котором точка начинает двигаться. [c.288] какова бы ни была окорость в начальный момент, она будет стремиться к одному и тому же пределу X и по истечении достаточно большого промежутка времени движение станет почти равномерным со скоростью X. Отсюда следует, что если начальная скорость будет в точности равна X, то движение будет точно равномерным. Заметим, что дифференциальное уравнение (1) действительно допускает решение v = . [c.293] Следовательно, р1(Х) меньше единицы и так как функция — возрастающая, то X, X. Это показывает, что большей массе соответствует большая предельная скорость, что находится в соответствии с опытом, показывающим, что более тяжелые тела падают в воздухе быстрее. [c.293] При п целом, квадратуры, которые нужно выполнить, касаются рациональных дробей. Если п — число рациональное, л = - , то, полагая V = и . [c.293] Когда функция ср (г ) не равна нулю, то она положительна. Вследствие этого подынтегральное выражение в Н всегда меньше подынтегрального выражения в /У, поэтому Н меньше чем //, и точка в воздухе поднимается на меньшую высоту, чем в пустоте. Точно так же Т меньше чем и точка затрачивает меньше времени для поднятия на наибольшую высоту, чем при движении в пустоте. [c.295] По истечении времени Т точка останавливается и затем начинает падать по закону, установленному выше для нисходящего движения при отсутствии начальной скорости. Когда точка проходит через свое начальное положение, она имеет скорость, меньшую чем VQ. В самом деле, она поднимается на меньшую высоту, чем если бы она была брошена вверх в пустоте с той же начальной скоростью кроме того, она падает тоже медленнее, так как ее падение замедляется сопротивлением воздуха. По этим двум причинам скорость при возвращении будет меньше, чем та же скорость при движении в пустоте, т. е. меньше чем Од. [c.295] Это уравнение идентично уравнению нисходящего движения по вертикали в сопротивляющейся среде и отличается от него лишь заменой g через g. [c.296] Скорость, следовательно, стремится к g k) . [c.296] По истечении этого времени скорость обратится в нуль и точка остановится, так как при скорости, равной нулю, пропадет, как и в предыдущем случае, сопротивление. [c.297] Вернуться к основной статье