ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сравнение с точно решаемыми примерами из "Динамические системы при случайных воздействиях " Так как x(0) = 0, то х (0) = a (0)x(0) = О и начальные условия для выписанных цепочек уравнений нулевые. [c.79] Нетрудно выписать цепочки, когда вместо а 1) в (5.25) стоит ((). [c.80] Приведенные цепочки уравнений можно редуцировать к замкнутому интегродифференциальному уравнению для одной искомой величины х(() . Этими вопросами, а также вопросами приближенного анализа цепочек мы будем заниматься в сле-дуюш ей главе. [c.80] Приводится анализ уравнений для средних, полученных в гл. 5. Изложена процедура их редукции к одному замкнутому интегродифференциальному уравнению ( 1). Даются правила укорочения уравнений, когда воздействия обладают малым ( 3, 4). Отдельно обсуждается диффузионное приближение ( с = 0) ( 5). Проводится сравнение с известным подходом, в котором задачи с воздействиями при конечных с сводят к диффузионным путем расширения числа перемен- ных ( 5). [c.80] Представляется важным также и то обстоятельство, что уравнения (6.13) сравнительно легко анализировать, когда случайные воздействия являются быстрофлуктуирующими, так что параметр v велик в сравнении с характерными частотами невозмущенной (а = 0) системы, и вклад от флуктуаций a(f) в динамику движений x t) на интервале времени te = относительно мал. В этом случае ряды справа в (6.13) представляют собой, как увидим в 3, разложения по степеням малого параметра, и их дальнейшее упрощение может проводиться регулярным образом с помощью известных асимптотических методов усреднения 143, 44]. [c.85] Отметим также, что ряды справа в (6.13) для некоторых типов динамических систем сворачиваются в операторы простого вида (см. 2). [c.85] В этом параграфе мы кратко остановимся на возможности дальнейшего упрощения уравнений (6.13), основанной на знании явного выражения для характеристического функционала процесса a(i), и уравнений, которому он подчиняется. [c.85] Динамика ее средних, а значит, и детерминированное уравне-, ние для характеристического функционала процесса а(1) дается формулой (4.17). [c.86] Это уравнение является замкнутым и детерминированным. Применительно к рассмотренному марковскому пуассоновско-му процессу функция g t) = 0(г) ехр (—vг), где 6(() — единичная функция. [c.87] Заметим, что последний результат, исходя из других рассуждений, на основе функционального аппарата был получен в [32]. [c.88] Таким образом, если известен явный вид характеристического функционала случайного воздействия, то для довольно. широкого класса динамических систем могут быть получены компактные детерминированные уравнения для всевозможных средних от этих динамических переменных. [c.88] Заметим, что в пределе белого шума, когда и v и а стремятся к бесконечности, но так, что a /v = onst, сумма по /с в круглых скобках обраш,ается в нуль, а первое слагаемое, очевидно, равно ае = a l BH/v = onst BH. [c.91] Если ограничиться в (6.7) справа первыми к членами ряда, то возникаюш,ая за счет зтого погрешность имеет порядок о(е -1). Такое укорочение соответствует обрыву цепочек (6.2) на шаге к, на котором полагается Xft+i= 0. [c.91] Замыкание цепочки (6.2) расцеплением корреляции по правилу а х = а х приводит к приближению, совпадающему с так называемым приближением Бурре, широко исполь- зуемым. в различных задачах статистической физики и распро- странения волн (см., например, [7]). [c.92] Б следующем параграфе приведены примеры точно решаемых уравнений 1-го порядка, на которых проиллюстрирована быстрая сходимость высших приближений к точным решениям не только в области е, т) 1, но и когда е, т) 1 при использовании для расцепления корреляций правил квазинормальности. [c.92] Таким образом, ряды в (6.11) также сходятся при е С 1- Процедура замыкания цепочки (6.8) та же на шаге к можно положить = 0, а улучшенному приближению соответствует расцепление по правилу, следующему из формул дифференцирования моментных средних для этого процесса (или кумулянтных средних) при V оо. [c.93] Аналогично проводится анализ на сходимость рядов справа в (6.13) для других моделей процессов. При этом для пуассоновских процессов оказывается, что сходимость ряда существенно зависит от быстроты спада вероятностного распределения р ) амплитуд импульсов при больших г. [c.93] Усредним уравнение (6.29) по процессу a(t). Соответственно знаком ) будем теперь обозначать среднее по обоим процессам. В уравнении (6.29) в качестве е и т) выступают величины е = 2a/v, т) = 2h/v. [c.93] Проиллюстрируем процедуру замыкания цепочек (6.30) на примере нескольких шагов. Для конкретности будем исполь-. зовать приближенное правило расцепления (6.27), которое принятых обозначениях имеет вид — кг - . [c.94] Вернуться к основной статье