ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Описание динамическими или кинетическими уравнениями из "Динамические системы при случайных воздействиях " Динамический способ описания удобен для выявления характерных временных масштабов изменения a t) и распределения интенсивности флуктуаций по спектру. Подчеркнем, что при задании случайных процессов динамическими уравнениями последние рассматриваются как уравнения эволюционного типа с некоторыми начальными (а не краевыми) условиями, так что решение a(i) в момент времени i зависит от поведения случайных параметров в предшествующие моменты времени. [c.18] К последнему равенству приходим после интегрирования по частям и в предположении, что плотность траекторий при значениях а = оо равна нулю. [c.19] Для случая, когда в Т все i — т, уравнение (2.8) физически означает, что переход из (2, Г) в (а, t) можно рассматривать как сумму всевозможных переходов из (2, Г) в какое-то промежуточное состояние ( п, i — т), а из него — в (а, t) (рис. 2). [c.20] Ограничимся далее лишь рассмотрением уравнений для условных вероятностей. [c.20] Б состоянии а. Все такие реализации, очевидно, проходят в момент т через промежуточные состояния т], и суммирование по всем т] перебирает все реализации. Частным случаем уравнения (2.13) является уравнение Смолуховского, справедливое для класса марковских процессов (см. ниже). [c.21] Заметим, что величина т в (2.13) и в (2.14) может быть как положительной, так и отрицательной и следует, вообще говоря, различать пределы т- - + Оит- — О,в которых операторы L могут отличаться, и это надо иметь в виду в тех местах, где будут встречаться выражения, содержащие пределы при т0. [c.21] Часто используют непосредственно интегральное представление оператора Ь, как, например, в уравнениях Больцмана или Колмогорова — Феллера, соответствующих марковским скачкообразным процессам (см. ниже). [c.22] Как видим, оператор Ь в (2.15) более сложного вида, чем для детерминированного процесса (уравнение (2.10)). В последнем случае = А, а все А = О, 2. Коэффициенты Ль связаны согласно (2.16) инфинптезимальными изменениями во времени определенных моментов и в принципе их можно определять из решения уравнения (2.7). [c.22] С физической точки зрения моделирование окружения марковскими процессами эквивалентно рассмотрению процессов, к которым приложим принцип Гюйгенса. Согласно последнему всякая точка фронта волны может рассматриваться как новый точечный источник излучения, так что поведение волны при I 0 полностью определяется ее поведением при t = независимо от того, как распространялись волны до этого момента. [c.24] В рамках описания процесса a t) динамическими уравнениями (2.7) для выполнения условия марковости достаточно, чтобы случайный параметр Q либо не флуктуировал во времени (Q — случайная величина), либо флуктуировал предельно быстро (т. е. Q = Q t) — дельта-коррелированный случайный процесс). [c.24] Перебирая функции а(а, t) и ф(а1 ], t), мы имеем возможность описывать весьма разнообразные скачкообразные процессы. Некоторые из них будут подробно рассмотрены в следующих главах. [c.25] Как соотносятся способы описания случайных процессов с динамическими и кинетическими уравнениями Иными словами, как кинетические коэффициенты выражаются через параметры, фигурирующие в динамических уравнениях процесса В общем случае данная задача нетривиальна. Однако для многих моделей случайных процессов, в частности для класса марковских процессов, эта трудность преодолена. [c.25] Вернуться к основной статье