ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод Ньютона н многосеточный алгоритм из "Многосеточные методы конечных элементов " Случай третьего краевого условия изучается в [64]. В итоге (1.1), (1.2) представляет собой некоторое обобщение линейной краевой задачи. Введем для нее понятие обобщенного решения. [c.238] На этот раз форма и, и) линейнатолько по второму аргументу. Напомним, что при обосновании сходимости метода конечных элементов нами активно использовались свойства эллиптичности и непрерывности формы . Укажем обобщения этих свойств для нелинейного случая. [c.238] Другие, более общие определения монотонности и непрерьтности операторов и, соответственно, формы имеются в [75, 47, 33]. [c.238] Докажем разреншмость системы (1,8) и задачи (1.7), опираясь на известную лемму Ж.-Л. Лионса [47]. Предварительно зафиксируем в некоторое скалярное произведение ( , ) лг и норму 11= (I. [c.239] Ради точности отметим, что формулировка в [47] содержит конкретное евклидово скалярное произведение, но казательство справедливо для произвольного скалярного произведения. Следующий результат, вытекающий из зтой леммы, аналогичен полученному в [64]. [c.239] Докажем его ограниченность. Рассмотрим неравенство I JE(w и ) I I JE(w и ) - Х(0, и ) I + I jE(0, и ) I. [c.240] Единственность решения м следует из условия сильной монотонности так же, как в (1.6). [c.240] Доказательство оценки скорости сходимости аналогично обоснованию для линейных задач [64]. [c.240] Таким образом, вопрос о точности м сведен к возможной точности аппроксимации. Этот вопрос уже детально изучался в гл. 3. [c.241] Из условия сильной монотонности обычным образом вытекает единственность решения задачи (2.5). [c.243] Однозначная разрешимость системы (2,6) и сходимость и к и вытекает из результатов предьщущего параграфа. [c.243] Поскольку /(дс, 0) е С(П), то величина /(дс, 0) о ограничена и поэтому I jE(0,u)L u o. [c.243] Объединяя два последних неравенства, получаем (2.8). [c.243] Отметим, что она неотрицательна ввиду теоремы Лагранжа и условия (23). [c.244] Вычтем из него (2.14) и положим и =м - mi . [c.245] наконец, применяя неравенство Фридрихса (1.1.1),приходим к (2.18). [c.245] Дальнейшее описание алгоритма проведем рекуррентно. Пусть имеется решение и на уровне А 1. Переход на следующий уровень состоит из двух зтапов. [c.246] переходя с одного уровня на другой, с помощью алгоритма В мы получим приближенное решение на ламой мелкой сетке 12 . [c.246] Вернуться к основной статье