ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача с точечной особенностью из "Многосеточные методы конечных элементов " Продолжая изучение двумерной задачи Дирихле, рассмотрим ситуацию, когда у области 12 имеются внутренние углы больше тг. Их присутствие приводит к снижению гладкости решения дифференциальной задачи, которое, вообще, говоря, не будет принадлежать IV (12). Поэтому использование обычной технологии при триангуляции и построении систем дает меньший порядок точности приближенного решения [66, с. 265]. [c.219] Для моделирования особой угловой точки рассмотрим многоугольник 12, у которого все внутренние углы меньше тг, за исключением одного, расположенного в начале координат. Величину этого угла обоэначим через в (рис. 5.6). [c.220] Как и раньше, через 12 . обозначим объединение всех вершин 1-го раз биения и положим 12 =. П 12, - число точек множества. Для каждой точки у 12 введем кусочно-линейную базисную функцию е И 2 (12), как в 5.1, и обоэначим через Н линейную оболочку этой системы функций. [c.220] Кусочно-линейные восполнения в Н для векторов будем строить по правилу (1.7) введем также норму (1.8). Напомним, что восполнением в Я вектора К будет функция м - приближенное решение по методу Бубнова — Галёркина. Для него справедливо следующее утверждение. [c.221] Отметим, что получаемая триангуляция на каждом уровне г = 0,1. р удовлетворяет условиям [66, с. 273] с показателем р = 1/м- Для нее( с использованием явного вида функций особенности) получена нужная нам оценка (4.2). Оценка (4.3) вытекает из (4.2) обычным путем. Теорема 4.1 доказана. [c.221] Для нее оценки (2.18) 4.2 вьшолняются с константами С7 = j2 f3 и с = 1/n/3. [c.222] Для решения системы (4.1) применим алгоритм В из 4.2, в котором вместо алгоритма А будем использовать алгоритм А из 4.8. Тогда как и для задач без сгущения сетки, на основании теорем 8.1, 8.3 4.8 имеет место следующий аналогичный результат. [c.222] Замечание 4.1. Нормировка матрицы L с помощью диагональной матрицы дает существенный вьшгрьпи также при решении задач с коэффициентами, сильно меняющимися по величине в различных зонах. Такая ситуация возникает, например, при решении стационарного уравнения теплопроводности для среды, составленной из материалов с разной теплопроводностью. В этой связи отметим, что линия разрыва коэффициентов при выходе на границу тоже может дать особенность в решении. Такой же эффект дает стык краевых условий разных типов. Для устранения последствий таких особенностей также можно сгустить сетку с нужной степенью р [66, с. 273]. В итоге алгоритмы А , В дадут такой же эффект, как и в теореме 4.2. [c.222] Вернуться к основной статье