ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Трехмерный случай из "Многосеточные методы конечных элементов " Для лагранжевых элементов степени 2 достаточно использовать трехточечную формулу 3 из табл. 3.1, точную для многочленов из Р2. Она имеет минимальное число узлов, к тому же удачно расположенных. [c.106] Теперь рассмотрим конечные злементы с прямоугольной ячейкой. [c.108] Еще большую точность дает декартово произведение двухточечных квадратурных формул Гаусса [62]. Оно будет точно на Сз, а узлов у него столько же, сколько у формулы 2. По сравнению с формулой 2 для уравнения с постоянными коэффициентами его использование предпочтительнее, а для переменных коэффициентов — в 4 раза более трудоемкое. В самом деле, каждый узел формулы 2 является, как правило, вершиной четырех четырехугольников триангуляции. Поэтому при ор(с ) 1 фактическая стоимость формулы 2 на четырехугольной триангуляции оценивается величиной ор р), а кубатурной формулы Гаусса —4 ор. [c.108] На крупной сетке зто условие может не выполниться в каких-либо ячейках, тогда в них следует использовать формулу 5. У нее все веса положительны, но стоимость на триангуляции несколько выше. [c.108] Так)то же точность имеет уже упоминавшаяся 4-х точечная кубатурная формула Гаусса, но она не обеспечивает положительной определенности /г( -,) из-за малого числа узлов. [c.108] Для эрмитова элемента степени 3 при решении уравнений второго порядка следует взять кубатурную формулу, точную на Рц и имеющую не менее 15 узлов (75]. Для этой цели подходат формула 8. [c.110] При решении уравнений четвертого порядка следует взять кубатурную формулу, точную на Рг. но имеющую не менее 13 узлов. В итоге мы снова приходим к альтернативе между формулами N 6 и N 7. [c.110] Во всех рассмотренных случаях, кроме билинейного элемента степени 1, для формирования /й ( ) следует применять формулу 3, имеющую достаточную точность и невысокую стоимость для переменной правой части. Если же правая часть легко вычислима, например кусочно-постоянна, то экономичнее использовать 4-хточечную кубатурную формулу Гаусса. [c.110] Для сохранения порядка точности, достигаемого лагранжевыми элементами степени 1, подходят простейшие кубатурные формулы 1 и 2 из табл. 3.3. Если ор( ) 1, то предпочтительнее формула N 2, поскольку каждый ее узел используется, как правило, в 24 ячейках (см. рис. 2.4). Поэтому ее фактическая стоимость на триангуляции оказывается в шесть раз меньше, чем у формулы N 1. [c.110] Для лагранжевых элементов степени 2 достаточно использовать формулу N 3. При подсчете ее стоимости при ор( ) 1 учитывалось, что узлы, лежащие в серединах ребер, входят в среднем в 6 ячеек (см. рис. 2.4). [c.110] Для сохранения точности лагранжевых элементов степени 3 следует использовать кубатурную формулу 5. Она имеет наименьшее число узлов из известных кубатурных формул, точных на Рц. Все 11 ее узлов лежат внутри со и поэтому ее стоимость относительно велика для переменных коэффициентов. Поэтому для интегрирования правой части достаточно использовать кубатурную формулу 4. При подсчете ее стоимости учтено, что узлы - середины граней входят в 2 соседних симплекса. [c.110] Для лагранжева элемента степени 1 следует взять формулу 2 из табл. 3.4. Она сохраняет порядок точности аппроксимации трилинейными конечными элементами. Такую же точность дает кубатурная формула средней точки N 1. Но ее использование не дает условия (ЗА), положительной определенности формы из-за малого числа узлов. На основании теоремы 4.1.2 из [75] их надо не менее 7. В итоге использование формулы 1 ограничено вычислениями только для/й( ). [c.110] Еще большую точность дает декартово произведение двухточечных квадратурных формул Гаусса. Оно будет точно на Qj, а узлов у него тоже 8. По сравнению с формулой 2 для уравнения с постоянными коэффициентами его использование предпочтительнее, а для переменных коэффициентов — в 8 раз более трудоемкое. В самом деле, каждый узел формулы N 2 является, как правило, вершиной восьми шестигранников триангуляции. Поэтому при op(ip) 1 фактическая стоимость формулы N 2 оценивается величиной ор((/)), а кубатурной формулы Гаусса - 8 ор( /)). [c.110] Для сирендипова элемента степени 3 следует вэять кубатурную формулу, точную на Pi и имеющую не менее 29 узлов для обеспечения положительной определенности й. Для этой цели подходит формула 6 из табл. 3.4. У нее есть отрицательные веса, поэтому необходимо (3.8). [c.113] Вернуться к основной статье