ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Плоская двухмерная задача из "Метод Конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей " Интерполяционные соотношения для перемещений и формы конечного элемента строятся с использованием техники функций форм, определенных в локальной системе координат. [c.74] Здесь N( ) (5,11) — матрица-строка функций форм, а Х ) и У ) векторы узловых значений глобальных координат, т. е. [c.75] Однако теперь функции формы в (4.37) определены в локальной системе координат в соответствии с соотношениями (4 29)—(4.31) или (4.28) и вычисление производных по глобальным координатам требует предварительных математических преобразований. Эти преобразования аналогичны тем, которые были проделаны ранее в случае одномерного элемента, и необходимы для установления связи между производными функций форм по глобальным координатам и производным тех же функций по локальным координатам. [c.76] Подынтегральная функция в (4.42) в отличие от аналогичной функции в интеграле (2.67) для симплекс-элемента не является постоянной и зависит от локальных координат. Следует отметить, что в данном конкретном случае можно вычислить интеграл (4.42) в явном виде. Однако, как указывается в [19 ], это скорее является исключением, чем правилом. Поэтому обычно используются методы численного интегрирования, среди которых наиболее распространенным является метод Гаусса. [c.77] Таким образом, для определения интеграла методом Гаусса нужно вычислить в точках интегрирования и сложить значений подынтегральной функции, умноженной на весовые коэффициенты. Выражение (4.43) можно непосредственно программировать, но прежде введем некоторые обозначения. [c.77] Тогда выражение для блока матрицы градиентов (4.37) четырехугольного конечного элемента с точностью до множителя совпадает с аналогичным выражением (2.64) для треугольного симплекс-элемента. Из этого следует, что результат матричного перемножения в (4.43) при обозначениях (4.44) также с точностью до множителя совпадает с выражением (2.69). Иначе говоря, произведение из (4.43) дает тот же результат с точностью до множителя 1/4 (Л ) , что и аналогичное произведение в (2.67). [c.77] Поскольку для вычисления выражения (2.69) ранее была составлена подпрограмма STIFF, то возникает вопрос, нельзя ли воспользоваться ею и в данном случае. Подпрограмма STIFF годится совершенно без изменений для вычисления в одной точке интегрирования блока матрицы жесткости четырехугольного элемента в соответствии с (4.43) при следующих значениях формальных параметров ВЕ и DET. [c.77] Далее приведен Фрагмент программного модуля для вычисления и формирования нижней симметричной части матрицы жесткости изопараМ 1 Р ческого четырехугольного конечного элемента первого или второго порядка. Порядок интерполяционного полинома для конечного элемента определяется параметром NPE, которому соответствует число узловых точек в элементе. Таким образом, при NPE = 4 вычисляется матрица жесткости конечного элемент с четырьмя узлами, а при NPE = 8 — с восьмью. [c.78] Перед началом вычисления матрицы жесткости каждого конечного элемента должна быть сформирована таблица значений координат и весоБь1х коэффициентов для точек интегрирования Гаусса. [c.78] Цикл по IG соответствует интегрированию в (4.43) по координате Подпрограмма GAUSS (см. приложение) при этом выбирает по номеру IG из массива координат значение 5г, а из массива весовых коэффициентов — значение Ni, которые присваиваются соответственно переменным X и HL В цикле по JG, который соответствует интегрированию в (4.43) по координате т], подпрограмма GAUSS выбирает по номеру JG из массивов координат и весовых коэффициентов значения r j и Hj к присваивает их переменным Y и Ш. [c.79] Далее алгоритм строится таким образом, чтобы сформировать массив ВЕ на основе представления (4.45) и вычислить значение DET по (4.46) для выбранной в циклах по IG и JG точки интегрирования, определив тем самым фактические параметры для подпрограммы STIFF. Процесс формирования массива ВЕ функционально разделен на пять этапов, каждому из которых соответствует свой программный модуль. [c.79] Подпрограмма PNFNI (см. приложение) формирует для выбранной точки интегрирования при значениях X — h и Y = t]j одномерный массив FNI, компонентами которого являются значения функций формы (4.28) конечного элемента первого порядка при NPE = 4 или значения функций формы (4.29)—(4.31) конечного элемента второго порядка при NPE = 8. Формальные параметры XI и YI представляют собой одномерные массивы локальных координат узловых точек соответственно по 5 и т]. [c.79] Программа PNDNI (см. приложение) формирует для той же точки интегрирования двухмерный массив DNI, столбцами которого являются производные функций формы по локальным координатам. Структура массива DNI определена соотношением (4.40). В зависимости от значения параметра NPE массив DNI соответствует конечному элементу первого или второго порядка. [c.79] Подпрограмма PNJA (см. приложение) формирует в соответствии с представлением (4.40) и на основе сформированного массива DN1 матрицу Якоби, которой отвечает формальный параметр RJ . Параметрам ХРЕ и YPE соответствуют одномерные, массивы значений глобальных координат узловых точек Х ), и Y ) на основе соотношения (4.36). [c.80] Подпрограмма MINV является стандартной подпрограммой обраш,ения матрицы и вычисления ее определителя. Обратная матрица размеш,ается на месте обраш,аемой матрицы. Следовательно, результатом работы подпрограммы MINV будет вычисление обратной матрицы Якоби, которая размеш,ается в массиве RJ , и ее определителя det.l, значение которого присваивается переменной DET. Порядок матрицы Якоби равен числу степеней свободы в узле, которое, как и прежде, задается параметром NDF. Параметрам L1 и / 2 соответствуют вспомогательные одномерные массивы целых чисел, размерность которых совпадает с порядком матрицы. [c.80] последовательная работа перечисленных пяти программных модулей, начиная от выбора точки интегрирования Гаусса, завершается формированием массива ВЕ. На основе массива ВЕ следующими двумя циклами по узловым точкам конечного элемента при помощи подпрограмм STIFF и FRMSE вычисляется и размешается в массиве SE симметричная часть матрицы жесткости элемента аналогично тому, как это делалось в случае симплекс-элементов. [c.80] Программирование выражения (4.50) практически осуществляется теми же операторами, которые приведены в фрагменте программы на стр. 37. Отличие закдючается в том, что теперь требуется вычислять значения температуры в каждой точке ин-гегрирования на основании соотношения (4.49). [c.81] Выражение (4.49) представляет собой не что иное как скалярное произведение двух векторов, компонентами одного из которых являются значения функций форм, а компонентами другого — значения температуры в узлах. Это перемножение осуществляет подпрограмма-функция VALUE (см приложение), в которой формальному параметру ТРЕ соответствует одномерный массив значений температуры в узлах конечного элемента. [c.81] Вернуться к основной статье