ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Фиксированные и свободные интегралы из "Математические основания статистической механики " Задачу теоретического обоснования замены временных средних фазовыми обычно называют эргодической проблемой (иногда впрочем этим термином пользуются для обозначения других родственных задач, более узких или, наоборот, более широких). При этом почти всегда речь идет именно о средних значениях фазовых функций на данной поверхности постоянной энергии. Приступая к краткому отчету об истории и современном состоянии эргодической проблемы, мы должны поэтому прежде всего постараться понять, почему наша теория выбирает именно эти фазовые средние. Дело в том, что с чисто теоретической стороны такой выбор на первый взгляд представляется случайным и произвольным. Обычно обосновывают такую концепцию фазовых средних следующим образом так как энергия является интегралом движения, то всякая траектория целиком лежит на одной из поверхностей постоянной энергии значения изучаемой функции в точках фазового пространства Г, лежащих вне этой поверхности не принимают никакого участия в формировании временных средних, а потому, естественно, не должны учитываться и при вычислении фазовых средних, если мы хотим, чтобы эти фазовые средние были близки к временным. [c.35] Но такая аргументация содержит один весьма уязвимый пункт. Ведь то, что говорится в ней об интеграле энергии, может быть слово в слово повторено о любом другом независящем от времени интеграле движения а таких интегралов у системы с я степенями свободы имеется, как мы знаем, 25 — 1 независимых между собой следуя вышеприведенному рассуждению, мы должны были бы заранее фиксировать значение каждого из них, т. е., другими словами, определить траекторию системы в фазовом пространстве и вычислять наши средние значения вдоль этой траектории но этого мы никогда не делаем, да и не могли бы сделать по той причине, что подавляющее большинство других интегралов уравнений движения нам неизвестно, вследствие чего у нас нет никакого подхода к задаче о нахождении траектории, изображающей эволюционный путь нашей системы. [c.35] Таким образом, вопрос требует более внимательного рассмотрения. Нам будет всего удобнее начать с уточнения вышеприведенных аргументов в пользу предварительной фиксации определенной поверхности постоянной энергии сами по себе эти аргументы не только вполне убедительны, но и дают нам известный исходный пункт для дискуссии по занимающему нас вопросу. [c.35] Представим себе, в самом деле, что мы не стали бы выделять поверхности а вычисляли бы фазовые средние исследуемых нами функций, осредняя их по всему фазовому пространству Г. Первая, сравнительно несущественная трудность возникла бы у нас в связи с тем, что это пространство имеет бесконечный объем, вследствие чего осреднение без предварительного взвешивания, направленного к уменьшению влияния удаленных частей пространства, для большинства наиболее простых функций приводило бы к бесконечным или вовсе неопределенным средним значениям поэтому нам пришлось бы начать с взвешивания различных элементов пространства Г, причем этот выбор весов по необходимости содержал бы в себе значительный элемент произвола, что уже заранее в известной мере внушало бы сомнение в репрезентативности вычисленных на основе такого взвешивания фазовых средних ). [c.35] Однако, эта трудность, как мы уже заметили, все же несущественна сравнительно с другой, которая, повидимому, делает весь описываемый метод совершенно непригодным. В самом деле, энергия данной системы представляет собой, с нашей точки зрения, фазовую функцию, и притом, несомненно, одну из важнейших как для всякой фазовой функции, наш метод дал бы для нее некоторое определенное среднее значение Е какой физический смысл могло бы иметь это среднее значение Могли ли бы мы, в частности, рассчитывать, что временное среднее значение энергии данной системы в подавляющем большинстве доступных ей эволюционных процессов окажется равным Е (или по меньшей мере близким к Е) Достаточно формулировать это предположение, чтобы понять его абсурдность в каждом эволюционном процессе данная изолированная система сохраняет постоянное значение энергии это значение в большинстве случаев мы можем выбрать в широких пределах по своему желанию, и можем выбирать в различных случаях различные значения, в том числе весьма далекие от какого угодно заранее предписанного теорией числа самая попытка приписать энергии нашей системы раз навсегда определенное значение, какими бы методами это значение ни вычислялось, в корне противоречит реальному положению вещей. Таким образом, предварительная редукция фазового пространства Г к некоторой поверхности постоянной энергии для сколько-нибудь целесообразного вычисления фазовых средних представляется действительно неизбежной. [c.36] Попытаемся теперь разобраться в вопросе о том, почему мы можем оставить без внимания претензии всех других независящих от времени интегралов уравнений движения на то, чтобы мы обошлись с ним так же, как с энергией мы говорили уже выше о том, что по меньшей мере на первый взгляд эти претензии представляются вполне правомерными, ибо все то, что мы только что говорили об энергии, может быть повторено и для любого из этих интегралов однако, более внимательное рассмотрение вопроса сейчас покажет нам, что дело обстоит иначе. В целях лучшей обозримости мы разобьем нашу аргументацию на несколько этапов. [c.36] Условимся для краткости всякий интеграл только что описанного типа называть контролируемым (мы можем либо сами выбрать, либо по крайней мере экспериментально определить, словом — контролировать его значение в рассматриваемом процессе), и пусть наша система имеет к таких контролируемых интегралов (среди них почти всегда находится интеграл энергии). Фиксируя для каждого из них значение, какое он имеет в данном изучаемом нами процессе, мы тем самым выделяем в фазовом пространстве нашей системы некоторое редуцированное многообразие 2з — к измерений, по которому в дальнейшем и происходит осреднение интересующих нас фазовых функций. В подавляющем большинстве случаев, с которыми имеет дело статистическая физика, единственным контролируемым интегралом является интеграл энергии, вследствие чего редуцированное многообразие представляет собой одну из поверхностей постоянной энергии Бывают, однако, случаи, когда контролируемыми оказываются, наряду с интегралом энергии, и некоторые другие интегралы (например, интегралы импульсных компонент) в таких случаях осреднение, действительно, производится по многообразиям меньшего числа измерений, получаемым фиксированием значений всех контролируемых интегралов. [c.37] Что касается остальных, свободных (т. е. не фиксированных) интегралов, то каждый из них, как мы указали в п. 2, если он представляет собой физически актуальную величину, как правило, будет на редуцированном многообразии почти постоянным в описанном выше смысле это дает нам известные основания ожидать, что его значение в большинстве практически встречающихся случаев будет близким к его среднему значению на редуцированном многообразии иначе говоря, мы полагаем, что положение изображающей точки данной системы на нашем редуцированном многообразии обусловлено случаем, и притом таким образом, что пребыванию этой точки на множестве весьма малой меры соответствует весьма малая вероятность (абсолютная непрерывность ), так что выбранный нами интеграл, действительно, имеет все шансы в большинстве наблюдений получать значения, близкие к его среднему значению. Разумеется, вопрос о правильности всего этого гипотетического построения в конечном счете может быть решен только сличением выводов построенной таким образом теории с данными опыта. [c.37] То обстоятельство, что различие между фиксируемыми и свободными интегралами определяется не математической природой их, а, так сказать, их ролью в нашей научной или практической деятельности, не должно ни в какой мере смущать математика. Оно типично для всех приложений теории вероятностей. Так, например, номер билета, выпадающего в лотерее, мы при нормальных условиях считаем случайной величиной если. [c.37] Прекрасный пример того, сколь радикальное изменение могут получить результаты всех расчетов после учета значения такого интеграла, дают нам статистические схемы Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака в квантовой физике. [c.37] Само собой разумеется, что приведенными здесь соображениями эргодическая проблема не только не решается, но разрешимость ее в положительном смысле не получает и никакой существенной аргументации все, чего мы достигли, это — устранение, с помощью редукции фазового пространства, первого грубого препятствия, делавшего намеченную нами цель очевидно недостижимой. На редуцированном многообразии мы в данный момент не видим явных препятствий к положительному разрешению эргодической проблемы это открывает поле для дальнейших исследований, и это покуда все, чего мы достигли. [c.38] Во всем дальнейшем мы будем рассматривать в качестве редуцированного фазового пространства поверхность постоянной энергии, что для большинства изучаемых в статистической физике систем соответствует реальному положению вещей. Целью нашей является, следовательно, по возможности собрать аргументы, говорящие в пользу того, что временные средние по крайней мере физически наиболее важных фазовых функций для подавляющего большинства траекторий на данной поверхности постоянной энергии имеют близкие друг к другу значения (и в силу этого — по необходимости близкие к значениям соответствующих фазовых средних). [c.38] Вернуться к основной статье