ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Краткий исторический очерк из "Математические основания статистической механики " После того, как молекулярные воззрения на строение вещества получили господство в физике, появление в физических теориях новых, статистических (или вероятностных) методов исследования стало неизбежным. С точки зрения новых воззрений всякое вещество (твердое, жидкое или газообразное) представлялось собранием большого числа чрезвычайно малых частиц. Сведения о природе этих частиц были очень скудны в основном было известно только, что частиц этих чрезвычайно много, что для однородного вещества эти частицы одинаковы по своим свойствам и что они находятся между собой во взаимодействии. Размеры и строение частиц, а также законы их взаимодействия могли быть определяемы только гипотетически. [c.5] При таких условиях обычные для физических теорий методы математического исследования оставались, естественно, совершенно бессильными. На овладение таким материалом, например, с помощью аппарата дифференциальных уравнений, очевидно невозможно было рассчитывать, ибо если бы даже строение частиц и законы их взаимодействия были исчерпывающим образом известны, уже одно огромное число их явилось бы абсолютно непреодолимым препятствием для изучения движения этих частиц обычными для механики методами дифференциальных уравнений. На смену этим методам должны были притти другие, — такие, для которых большое число взаимодействующих частиц не являлось бы препятствием для систематического изучения составленных из них физических тел, а напротив, по возможности стимулировало и облегчало бы это исследование с другой стороны, эти методы должны были быть таковы, чтобы недостаток имевшихся сведений о природе, строении и характере взаимодействия частиц по возможности не ограничивал эффективности их применения. [c.5] Всем этим условиям наилучшим образом удовлетворяют методы теории вероятностей. Эта наука имеет основным предметом изучения как раз массовые явления, т. е. явления, имеющие место в собраниях большого числа в основном равноправных объектов, причем главной целью полагается отыскание таких общих закономерностей, которые обусловлены преимущественно именно этим массовым характером явления и лишь в сравнительно незначительной степени зависят от природы индивидуальных ингредиентов. Очевидно, что эти хорошо известные тенденции теории вероятностей как нельзя лучше соответствуют вышеописанным специальным запросам молекулярно-физических теорий. Таким образом, принципиально не могло быть и не было сомнений в том, что именно статистические методы должны были стать важнейшим математическим орудием в построении новых физических теорий. Если в этом вопросе и были разногласия, то они касались только формы и объема применения этих методов. [c.5] однако, отметить, что тенденция, направленная к ограничению роли статистических методов ценою введения более или менее далеко идущих гипотез о законах взаимодействия частиц и вытекающих из этих гипотез чисто механических рассмотрений, отнюдь не является историческим пережитком она находит себе полное выражение и во многих современных исследованиях согласно исторически сложившейся терминологии исследования этого рода относят обычно к кинетической теории материи, в отличие от статистической механики, стремящейся, напротив, свести всякие гипотезы подобного рода к возможному минимуму за счет максимального использования статистических методов. Каждое из этих двух направлений имеет свои преимущества. Построения кинетической теории, например, совершенно необходимы, когда речь идет о проблемах, связанных с движением отдельных частиц (число соударений, длина свободного пробега, характер траекторий и т. п.). В вопросах, связанных с изучением систем того или другого специального вида (например, одноатомного идеального газа), методы кинетической теории также часто заслуживают предпочтения, давая одновременно более простую в математическом отношении и более детальную трактовку происходящих явлений. Но там, где речь идет о теоретическом обосновании закономерностей общего типа, имеющих силу для самых разнородных систем, кинетическая теория, естественно, подчас оказывается бессильной и должна уступить место теориям, не делающим относительно природы частиц никаких или почти никаких специальных предположений. В частности, именно необходимость статистического обоснования общих предложений термодинамики породила в свое время тенденции, нашедшие свое выражение в построении статистической механики поневоле пришлось отказаться от специальных гипотез о природе частиц, ибо речь шла о статистическом обосновании именно таких законов, которые должны иметь место, какова бы ни была (в весьма широких границах) специфика этих частиц. [c.6] Первое систематическое изложение основ статистической механики, вместе с довольно далеко идущими приложениями к термодинамике и некоторым другим физическим теориям, было дано в известной книге Гиббса ). Кроме уже отмеченного стремления по возможности отказаться от каких бы то ни было гипотез о природе частиц, для изложения Гиббса с интересующей нас здесь принципиальной стороны характерно четкое введение понятия вероятности, получающего здесь чисто механическое определение, и связанная с этим логическая отчетливость всех рассуждений статистического характера 2) предельные теоремы теории вероятностей и здесь не находят себе применения (впрочем в это время они не получили еще значительного развития и в самой теории вероятностей) 3) автор понимает свою задачу не как прямое обоснование физических теорий, а как построение статистико-механических моделей, имеющих известные аналогии в термодинамике и некоторых других разделах физики поэтому он не останавливается перед введением весьма специальных гипотез статистического характера (каноническое распределение, см. главу V, 25), не только ничем не аргументируя их, но даже не пытаясь сколько-нибудь осветить их смысл и значение 4) математический уровень книги невысок рассуждения ведутся хотя и отчетливо в идейно-логическом отношении, но без всякой претензии на аналитическую строгость. [c.6] Ко времени появления книги Гиббса более или менее выяснилась основная проблематика, вставшая перед математической наукой в связи с обоснованием статистической механики. Отвлекаясь от ряда отдельно стоящих небольших задач, мы имеем здесь два фундаментальных круга проблем, открывших математике в свое время весьма обширное, глубокое, интересное и трудное поле для исследований, далеко еще не исчерпанное и до настоящего времени. Первый из этих кругов концентрируется около так называемой эргодической проблемы (гл. III), т. е. задачи логического обоснования интерпретации физических величин средними значениями соответствующих им функций, взятыми по фазовому пространству или надлежаще выбранной его части. Задача эта, идущая от Больцманна, в настоящее время, повидимому, еще далека от своего полного разрешения. После нескольких неудачных попыток, основанных либо на введении совершенно неуместных здесь, ad ho придуманных гипотез , либо на грубых логических и математических ошибках (часто, к сожалению, повторяющихся без всякой критики и в позднейших руководствах), и после ясного логического анализа встающих здесь трудностей в упомянутой уже статье Эренфестов этот круг задач был на продолжительное время почти оставлен исследователями (в книге Гиббса благодаря ее своеобразной установке на моделирование , он, естественно вообще не затрагивается). Только недавно (в 1931 г) замечательные работы Биркхоффа снова привлекли к нему внимание широких кругов исследователей, и с тех пор этот цикл задач не перестает интересовать математиков, привлекая к себе с каждым годом все больше и больше усилий. В гл. III мы остановимся на нем более подробно. [c.7] Чтобы завершить этот краткий обзор, мы должны еще отметить, что развитие в последние десятилетия атомной механики, в значительной мере изменившее лицо физической статистики, заставила, естественно, и статистическую механику расширить свой математический аппарат в такой мере, чтобы он охватывал и квантовые явления более того, с точки зрения современных воззрений мы должны рассматривать квантовые системы как общий тип, в отношении которого классические системы занимают место предельного случая в частности, именно таким образом построен курс Фаулера новый метод построения асимптотических формул для фазовых средних здесь первоначально обосновывается и развивается для квантовых систем формулы же, соответствующие классическим системам, получаются отсюда с помощью предельного перехода. [c.8] Квантовая статистика ставит математике и некоторые новые задачи так, обоснование своеобразных принципов статистических расчетов, лежащих в основе новых статистик Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака, потребовало математических рассуждений, принципиально (а не только по аналитическому аппарату) отличных от всех тех, с какими имела дело классическая статистическая механика. Тем не менее можно утверждать, что переход от классических систем к квантовым в основном не создал каких-либо существенно новых математических трудностей любой метод обоснования статистической механики классических систем в принципе может быть применен и к системам квантовым, требуя для достижения этой цели только расширения аналитического аппарата, которое может иногда вызвать небольшие трудности технического характера, но в принципиальном плане не создает новых математических задач там, где мы ранее оперировали интегралами, приходится иметь дело с конечными суммами или рядами, а непрерывные вероятностные распределения заменяются дискретными, для которых имеют место вполне аналогичные предельные теоремы. [c.8] Именно эти соображения заставили нас в предлагаемой книге ограничиться рассмотрением классических систем, совершенно оставляя в стороне все, что относится к квантовой физике, хотя все развиваемые нами методы с соответствующими изменениями без всяких трудностей могли бы себе найти применение и к квантовым системам. Мы выбрали классические системы, главным образом, потому, что наша книга предназначена, в первую очередь, для читателя-математика, у которого мы не всегда можем предполагать достаточное знакомство с основами квантовой механики включать же краткое изложение этих основ в предлагаемую книгу мы сочли нецелесообразным, потому что такое включение, весьма значительно увеличив размеры книги, все же не достигло бы, по нашему убеждению намеченной цели квантовая механика, с ее своеобразными, во многом противоречащими всем классическим представлениям идеями не может быть сколько-нибудь прочно усвоена в таком ad ho изучаемом кратком изложении. [c.8] Вернуться к основной статье