ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Неравномерные разложения из "Методы возмущений " Проверка сходимости рядов с помощью отношения двух соседних членов показывает, что у , и и v, а следовательно, и правая часть (1.5.13), расходятся для всех значений х. Однако для больших X слагаемые в и и v убывают быстро с ростом номера, так что (1.5.13) задает асимптотическое разложение для больших х. [c.25] Для малых X первые несколько членов в (1.5.2) дают вполне хорошую точность. В самом деле, первые 9 членов дают значение J 2) с точностью до 11 значащих цифр. Однако с ростом х число членов, необходимых для обеспечения такой точности, быстро растет. При х = 4 восемь членов дают точность до третьей значащей цифры, в то время как такую точность обеспечивает первый член асимптотического разложения (1.5.13). При дальнейшем росте X с гораздо меньшей затратой труда можно получать хорошую точность, используя асимптотический расходящийся ряд (1.6.13). [c.25] Здесь коэффициенты а являются функциями только переменной X. Говорят, что разложение (1.6.1) равномерно пригодно. [c.25] Заметим, что коэффициенты при всех степенях е ограничены для всех значений х, поэтому а (х) не более сингулярно, чем a j (х), и как следствие этого разложение является равномерно пригодным. [c.26] Это можно было усмотреть, вспомнив, что ряд Тейлора функции [1+ (е/л )]1 2 сходится только при г х, меньшем единицы. [c.27] что функция ехр(—е/) может быть приближенно представлена конечным числом членов только в том случае, когда произведение е/ мало. Поскольку е — малая величина, сказанное означает, что t = 0 ). Если t имеет порядок 0(е ), то величина zt не мала, и усеченный ряд перестает быть справедливым. Например, для / = 2е первые два члена дают для ехр(—2) значение, равное —1. Нетрудно установить, что если в приведенном выше ряде сохранить конечное число членов, то усеченный ряд может давать удовлетворительное приближение только до некоторого значения t, после которого функция ехр (— е/) и усеченный ряд отличаются друг от друга на величину, превосходящую заданный предел точности. Добавление дополнительных членов к усеченному ряду увеличит значение t, вплоть до которого усеченный ряд дает удовлетворительное приближение, до нового значения f. Однако при t f разность между ехр (— г1) и новым усеченным рядом вновь превзойдет заданную точность. Таким образом, для получения разложения, удовлетворительного для всех t, необходимы все члены ряда. [c.27] То обстоятельство, что асимптотические разложения по параметру не являются равномерно пригодными и перестают быть справедливыми в некоторых областях, является скорее правилом, чем исключением. Эти области, которые упоминаются иногда как пограничные слои, носят название областей неравномерности. Фридрихе [1955] обсуждал появление этих неравномерностей в различных областях математической физики в обзорной статье. Большинство методов теории возмущений было развито с целью превратить неравномерные разложения в равномерно пригодные. В гл. 2 обсуждаются источники неравномерности в остальных главах развивается техника сведения неравномерных разложений к равномерным. [c.27] Вернуться к основной статье