ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Система тождественных частиц из "Статистическая механика Курс лекций " В предыдуших параграфах мы рассматривали квантовые состояния системы осцилляторов как состояния с различным числом частиц, которые мы называли фононами. Определенные состояния были идентифицированы как однофононные состояния, а другие состояния—как состояния, содержащие более одного фоиона. [c.192] Гильбертово пространство, описывающее систему п частиц, порождается в этом случае тензорами п-го ранга вида (6.106). [c.193] Пространство п-частичных состояний порождается всеми произведениями вида (6.112). Заметим, что состояние t) i X. .. X X i) полностью симметрично в случае бозе-частиц и полностью антисимметрично в случае ферми-частиц, как и должно быть. [c.194] В последнем случае мы получаем, что две ферми-частицы не могут находиться в одном и том же состоянии, как и следовало ожидать. [c.194] ЧТО И Требовалось доказать. [c.195] В этой записи область изменения каждой переменной f не ограничена, появление же нескольких одинаковых состояний учитывается множителем 1/п и нормировкой. В случае ферми-частиц члены с одинаковыми а,-, конечно, равны нулю. Единица в правой части (6.116) означает единичный оператор в пространстве (должным образом симметризованных) л-частичных состояний. Соотношение (6.116) можно проверить, действуя оператором левой части равенства на состояние . .., р и используя (6.113), (6.114). [c.196] Случай п = 0, возможно, требует некоторых пояснений. Состояния, в которых отсутствуют частицы ( нуль-частичные состояния), описываются тензорами нулевого ранга, или скалярными величинами (комплексными числами). Они образуют одномерное пространство, все элементы которого пропорциональны единице. Это единичное состояние мы будем обозначать va (или иногда 10 ) и называть вакуумным состоянием . Таким образом, нуль-частичные состояния порождаются состоянием va . [c.196] Перейдем теперь к определению операторов рождения и уничтожения. Эти операторы играют важную роль по двум причинам во-первых, построив многочастичные состояния, мы получили возможность описывать изменение числа частиц в системе, и поэтому нам нужны операторы, которые могли бы производить это изменение, и, во-вторых, как оказывается, ряд операторов, например полная энергия, очень просто выражается через операторы рождения и уничтожения. [c.198] Таким образом, оператор уничтожения удаляет по одному из состояний 1 ф,- , оставляя сумму (п—1)-частичнььх состояний. В случае бозе-частиц ( = 1) все члены положительны, в то время как в случае ферми-частиц ( = — 1) члены суммы знакопеременны. [c.199] Таким образом, операторы рождения коммутируют для бозе-частиц и антикоммутируют для ферми-частиц аналогично ведут себя операторы уничтожения. [c.199] Соотношения (6.128), (6.129) и (6.132) являются основными коммутационными соотношениями для операторов рождения и уничтожения. [c.200] Соотношения, которые мы только что получили, обычно выводятся для ортонормированного базиса, поэтому мы рассмотрим сейчас этот случай. Пусть а = 1 , 2 ,. .. образуют полный ортонормированный набор одночастичных состояний. Обычно записывают aa — a a). Тогда, учитывая, что а р = бар, получаем [йа, аД 5 = бар. Рассмотрим теперь случаи бозе- и ферми-частиц по отдельности. [c.200] Обозначения (6.133) (в представлении чисел заполнения ), вообще говоря, не являются наиболее удобными. Действительно, более естественно по-прежнему применять обозначения, принятые в этом параграфе, т. е. обозначения [а , а. , Эти обозначения обсуждались в 5 в связи с фононами. Отметим при этом, что соотношения (6.126) и (6.127), записанные для состояний вида ai,. .., а , становятся идентичными соотношениям (6.67) и (6.68). Следовательно, операторы рождения и уничтожения для системы бозе-частиц имеют тот же вид, что и для фононной системы. [c.200] Заметим, что [а(ф)] = [а (ф)] = о для любого одночастичного состояния I ф . Это утверждение следует из соотношений (6.128) и (6.129) (где = — 1 и фJ = ф2 = ф) оно эквивалентно утверждению, что два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии, т. е. ф, ф = 0. [c.201] Чтобы связать операторы уничтожения а(р) и а (х), достаточно просто взять соотношения, эрмитово сопряженные соотношениям (6.147). Подобным же образом следует поступать при любом другом изменении базиса i. [c.202] Рекомендуем читателю, интересующемуся некоторыми другими аспектами теории вторичного квантования (например, пространством Фока) ознакомиться с гл. 6 книги [2]. —Прим. ред. [c.202] Вернуться к основной статье