ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Непрерывные решения из "Линейные и нелинейные волны " Использования символа полной производной достаточно для выделения случаев, когда жир рассматриваются как функции от I вдоль некоторой кривой введение для каждого такого случая новых обозначений в конце концов становится неудобным. [c.24] Прежде всего заметим, что на функция р сохраняет постоянное значение. Отсюда следует, что и с (р) остается постоянной на Чё, и, следовательно, кривая Й на (ж, )-плоскости представляет собой прямую с наклоном с (р). Таким образом, общее решение уравнения (2.2) сводится к построению на (ж, )-плоскости семейства прямых, каждая из которых имеет наклон с (р), соответствующий значению функции р на ней. Это легко делается в любой конкретной задаче. [c.24] Решая уравнение с = с (р), определим р. Для сжимающейся ступеньки с Сг веер на х, )-плоскости выворачивается , что-приводит к захлестыванию, изображенному на рис. 2.3. [c.30] В большинстве физических задач, в которых встречается это уравнение, функция р х, 1) является плотностью некоторой среды и по самой своей сущности однозначна. Поэтому, когда начинается опрокидывание, уравнение (2.2) перестает правильно описывать физический процесс. Даже в случаях, подобных волнам на воде, где многозначное решение для высоты поверхности можно по крайней мере интерпретировать, оказывается, что уравнение (2.2) не подходит для описания процесса. Дело в том, что какое-либо из предположений или приближенных соотношений, лежащих в основе уравнения (2.2), перестает быть справедливым. [c.30] В принципе следует вернуться к физической постановке задачи, посмотреть, что неверно, и вывести исправленное уравнение. Однако, как мы увидим в дальнейшем, оказывается, что предыдущее решение можно спасти, допустив наличие разрывных решений в этом случае вместо многозначного непрерывного решения будем иметь однозначное решение с разрывом первого рода. Данная процедура требует некоторого расширения математического понятия решения уравнения (2.2), поскольку, строго говоря, функция р не имеет производных в точках разрыва. Такое расширение осуществляется при помощи понятия слабого решения . [c.30] Важно сознавать, однако, что в действительности дело заключается не просто в математическом расширении понятия решения уравнения (2.2). Нарушение непрерывности решения связано с нарушением некоторого физического приближенного соотношения, и оба эти аспекта следует рассматривать одновременно. Оказывается, например, что существуют несколько подходящих с математической точки зрения семейств разрывных решений, причем вопрос о единственности можно решить, только обратившись к физической стороне задачи. [c.30] Мы подробно изучим различные стороны этого явления. Однако газовая динамика не является простейшим примером, поскольку она описывается уравнениями высших порядков, так что мы сначала обсудим основные идеи на примере более простых задач первого порядка. Следует тем не менее помнить, что первоисточником этих идей явилась газовая динамика и что мы нарушаем хронологический порядок. Основы теории были заложены Пуассоном [1], Стоксом [2], Риманом [1], Эрншоу [1], Рэнкином [1], Гюгонио [1], Рэлеем [1], Тейлором [1] — весьма впечатляющий список. Время, которое на это потребовалось, показывает, что связать воедино различные стороны явления оказалось довольно сложным делом. [c.31] Это приводит нас к уравнению (2.2), общее решение которого дается формулами (2.5) и (2.6). Наличие опрокидывания заставляет нас пересмотреть как математическое предположение о существовании производных функций р и д, так и физическое предположение о том, что соотношение = (р) является хорошим приближением. Чтобы разъяснить важность этих идей для дальнейшего развития теории, укажем здесь несколько характерных примеров. Мы вернемся к их более подробному обсуждению в гл. 3 пос.ле завершения изложения основных теоретических идей. [c.32] Забавный (и важный) пример связан с потоком транспорта. Разумно предположить, что основные черты достаточно интенсивного потока транспорта можно получить, считая его непрерывным с наблюдаемой плотностью р (х, ), равной числу машин на единицу длины, и расходом д (а , I), равным числу машин, пересекающих черту х за единицу времени. На участке шоссе без въездов и съездов машины сохраняются В силу этого мы имеем равенство (2.10). Для движения транспорта разумно также считать, что расход д определяется главным образом локальной плотностью р, и в качестве первого приближения предложить существование зависимости (2.12). Такие функциональные соотношения изучались и в какой-то степени были установлены рядом инже-неров-транспортников. [c.32] Теперь мы можем применить изложенную выше теорию. Ясно, однако, что в этом случае при возникновении опрокидывания пет недостатка в причинах, объясняющих возможную неадекватность предпосылок теории. Несомненно, предположение 5 = (р) является весьма упрощенным взглядом на очень сложное явление. Например, если плотность изменяется быстро (как это имеет место вблизи начала опрокидывания), следует ожидать, что водители реагируют не только на локальную плотность следует ожидать также, что проходит некоторое время прежде, чем они соответствующим образом среагируют на изменение обстановки. Можно усомниться и в самом предположении непрерывности. [c.32] Вернуться к основной статье