ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения в напряжениях и скоростях из "Теория пластичности Изд.3 " Это уравнение в частном случае, когда линия разрыва напряжений является прямой, было выведено Е. Ли [147]. [c.201] Уравнения пластического равновесия при плоском деформированном состоянии, построенные на основе условия постоянства интенсивности напряжения или условия постоянства максимального касательного напряжения, как будет показано далее, совпадают и принадлежат к гиперболическому типу. Они имеют также частные интегралы, весьма удобные для решения многих задач. [c.201] Эти системы уравнений, принадлежащие М. Леви [52] и Г. Гей-рингер [140], описывают поля напряжений и скоростей в условиях плоского деформированного состояния. [c.202] Выясним следующий вопрос можно ли, пользуясь этими системами уравнений, определить значения частных производных от искомых функций по координатам вдоль какой-нибудь линии у = у [х), проведенной в плоскости ху. [c.202] И такие же выражения для остальных производных. [c.202] Основная система уравнений имеет, таким образом, два действительных различных семейства характеристик она принадлежит, следовательно, к гиперболическому типу. Ясно, что касательные к характеристикам в плоскости ху наклонены к оси л под углами Ф + я/4, т. е. под теми же углами, что и линии скольжения. Отсюда непосредственно следует, что характеристики в плоскости ху являются линиями скольжения. [c.203] О направлении вогнутостей характеристик линий и ti в плоскости течения ху и в плоскости годографа uv можно судить по их изображениям в плоскости характеристик В самом деле, при монотонном изменении вдоль характеристик т] = onst или при монотонном изменении ti вдоль характеристик g = onst угол ф также изменяется монотонно. [c.204] Займемся преобразованием уравнений характеристик, применяя новые переменные, позволяющие получить соответствующие результаты в более удобной форме. [c.204] Нетрудно видеть, что X я Y представляют собой координаты какой-нибудь точки относительно осей, проходящих через начало О и параллельных направлениям главных нормальных напряжений в той же точке. Также легко показать, что U я V являются компонентами скорости по направлениям главных нормальных напряжений. [c.205] Предыдущие рассуждения законны, если величины g и ti переменны. Однако существуют решения, соответствующие постоянным и Т1,— так называемые интегралы уравнений пластичности. Эти решения должны быть рассмотрены отдельно. [c.205] Первое семейство характеристик в плоскости течения ху я плоскости годографа uv образовано кривыми, а второе семейство характеристик состоит из прямых ф = onst. [c.205] Построенное решение имеет место лишь до предельной линии, которая определяется уравнением X (ф) = F и представляет собой огибающую прямолинейных характеристик ф = onst. Предельная линия является геометрическим местом центров кривизны — эволютой криволинейных характеристик, а они в свою очередь служат эвольвентами предельной линии. [c.206] Первое семейство характеристик в плоскости течения ху ив плоскости годографа ии. состоит из прямых ф = onst, а второе семейство характеристик образовано кривыми. [c.206] Отметим, что при замене компонент скорости и и и на координаты у и —X, а также компонент I/ и V на координаты У и —X все уравнения в скоростях переходят в соответствующие уравнения в координатах. [c.207] Эти дифференциальные уравнения дают возможность определять X, у или X, У в зависимости от 1, когда скорости и, V или и, V известны. [c.207] Выше было установлено, что вдоль линий скольжения могут возникать разрывы компоненты тогда как компонента остается непрерывной. [c.208] Приведенные выше уравнения могут быть преобразованы к плоским полярным координатам г и 0, которыми часто удобно пользоваться. [c.208] Подставляя выражения (7.09) при t = k в дифференциальные уравнения равновесия (7.11), а выражения (7.10) при е = О в дифференциальные соотношения (7.12), нетрудно получить уравнения плоского деформированного состояния в полярных координатах, соответствующие уравнениям (7.13) и (7.14). Исследование этих уравнений может быть проведено совершенно аналогично предыдущему. [c.208] Наряду с плоскостью характеристик иногда удобно пользоваться плоскостью переменных Ох и х у, которая называется плоскостью напряжений. [c.208] Вернуться к основной статье